浙江省杭州第二名校2023-2024学年高三下学期数学开学考...

更新时间：2024-04-23 浏览次数：27 类型：开学考试

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. (2024高三下·杭州开学考) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则集合 $\text{[math]}$ 的真子集个数为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高三下·杭州开学考) 已知等比数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 2 B . 4 C . $\text{[math]}$ D . 6

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3. (2024高三下·杭州开学考) 函数 $\text{[math]}$ 的图象可能是（）

A . B . C . D .

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4. (2024高三下·杭州开学考) 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的（）

A . 必要不充分条件 B . 充分不必要条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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5. (2024高三下·杭州开学考) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的大小关系是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2024高三下·杭州开学考) $\text{[math]}$ 的展开式中， $\text{[math]}$ 的系数为（）

A . 60 B . $\text{[math]}$ C . 120 D . $\text{[math]}$

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7. (2024高二下·潮阳期中) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， P为椭圆上一点，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024高二下·云南月考) 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. (2024高三下·杭州开学考) 设 $\text{[math]}$ 为互不重合的平面， $\text{[math]}$ 为互不重合的直线，则下列命题为真命题的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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10. (2024高三下·杭州开学考) 有一组互不相等的样本数据 $\text{[math]}$ ，平均数为 $\text{[math]}$ .若随机剔除其中一个数据，得到一组新数据，记为 $\text{[math]}$ ，平均数为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 新数据的极差可能等于原数据的极差 B . 新数据的中位数不可能等于原数据的中位数 C . 若 $\text{[math]}$ ，则新数据的方差一定大于原数据方差 D . 若 $\text{[math]}$ ，则新数据的40%分位数一定大于原数据的40%分位数

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11. (2024高三下·杭州开学考) 记函数 $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的最大值与最小值的差为3，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递减 D . 直线 $\text{[math]}$ 是曲线 $\text{[math]}$ 的切线

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. (2024高三下·杭州开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ ；若 $\text{[math]}$ ，则实数m的值为．

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13. (2024高三下·杭州开学考) 设 $\text{[math]}$ 是复数，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. (2024高三下·杭州开学考) 如图，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边 $\text{[math]}$ 上的两点，且满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则当 $\text{[math]}$ 取最大值时， $\text{[math]}$ 的面积等于.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. (2024高三下·杭州开学考) 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是边长为2的菱形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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16. (2024高三下·杭州开学考) 设函数 $\text{[math]}$ 的图像为曲线 $\text{[math]}$ ，过原点 $\text{[math]}$ 且斜率为 $\text{[math]}$ 的直线为 $\text{[math]}$ .设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 除点 $\text{[math]}$ 外，还有另外两个交点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （可以重合），记 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的解析式；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的单调区间.
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17. (2024高三下·杭州开学考) “英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动.
1. （1）若数学组的7名学员中恰有3人来自 $\text{[math]}$ 中学，从这7名学员中选取3人， $\text{[math]}$ 表示选取的人中来自 $\text{[math]}$ 中学的人数，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望；
2. （2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当 $\text{[math]}$ 时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值.
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18. (2024高三下·杭州开学考) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ .设 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）为拋物线 $\text{[math]}$ 上一点.过 $\text{[math]}$ 作抛物线 $\text{[math]}$ 的两条切线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为切点.射线 $\text{[math]}$ 交抛物线 $\text{[math]}$ 于另一点 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）求四边形 $\text{[math]}$ 面积的最小值.
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19. (2024高三下·杭州开学考) 设整数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ .从 $\text{[math]}$ 中选取 $\text{[math]}$ 个不同的元素并取它们的乘积，这样的乘积有 $\text{[math]}$ 个，设它们的和为 $\text{[math]}$ .例如 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）记 $\text{[math]}$ .求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的整式表达式；
3. （3）用含 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的式子来表示 $\text{[math]}$ .
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