广东省深圳市科学高中2023-2024学年高二下学期4月月考...

更新时间：2024-07-16 浏览次数：15 类型：月考试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. (2024高二下·深圳月考) 已知复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是虚数单位），则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高二下·深圳月考) 若角 $\text{[math]}$ 的终边经过点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024高二下·深圳月考) 若数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 3 B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2024高二下·深圳月考) 若向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影向量为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024高二下·深圳月考) 在 $\text{[math]}$ 的展开式中， $\text{[math]}$ 的系数为（）

A . 20 B . 25 C . 30 D . 35

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6. (2024高二下·深圳月考) “方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知 $\text{[math]}$ ，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米 $\text{[math]}$ ，则该“方斗”可盛米的总质量为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024高二下·深圳月考) 若斜率为1的直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 和圆 $\text{[math]}$ 都相切，则实数 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 0或2 B . 0或 $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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8. (2024高二下·深圳月考) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左，右焦点分别为 $\text{[math]}$ 为坐标原点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 左支上一点， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的右支交于点 $\text{[math]}$ 中点为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. (2024高二下·深圳月考) 已知函数 $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 图像的一条对称轴 C . $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增 D . $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最小值为 $\text{[math]}$

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10. (2024高二下·深圳月考) 如图，在棱长为2的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 分别是棱 $\text{[math]}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 四点共面 B . $\text{[math]}$ C . 直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ D . 点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离为1

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11. (2024高二下·深圳月考) 已知数列 $\text{[math]}$ 的首项为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 、数列 $\text{[math]}$ 数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和分别为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. (2024高二下·深圳月考) 已知点 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ 为抛物线上的点，则 $\text{[math]}$ 周长的最小值为．

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13. (2024高二下·深圳月考) 甲、乙、丙三人值周一至周六的班，每人值两天班，每天有且仅有一人值班，若甲不值周一，乙不值周六，则可排出不同的值班表数为．

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14. (2024高二下·深圳月考) 若函数 $\text{[math]}$ 有两个零点，则正整数 $\text{[math]}$ 的最小值为．（其中 $\text{[math]}$ 是自然对数的底数，参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (2024高二下·深圳月考) 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的各项均为正数， $\text{[math]}$ .
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的通项公式及其前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .
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16. (2024高二下·深圳月考) 已知 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，角 $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求角 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 的周长为15，求 $\text{[math]}$ 的长．
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17. (2024高二下·深圳月考) 如图所示，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．
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18. (2024高二下·深圳月考) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 垂直于 $\text{[math]}$ 轴．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）直线 $\text{[math]}$ 斜率存在，交椭圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 三点不共线，且直线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 对称．
  （ⅰ）证明：直线 $\text{[math]}$ 过定点；
  （ⅱ）求 $\text{[math]}$ 面积的最大值．
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19. (2024高二下·深圳月考) 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的导函数， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的导函数，则曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的曲率为 $\text{[math]}$
1. （1）已知函数 $\text{[math]}$ ，
  ①求函数 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的曲率的平方 $\text{[math]}$ ；
  ②求函数 $\text{[math]}$ 的曲率 $\text{[math]}$ 的最大值．
2. （2）函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 在两个不同的点处曲率为0，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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