广东省深圳市名校联考2023-2024学年高一下学期数学期中...

更新时间：2024-07-24 浏览次数：10 类型：期中考试

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设复数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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3. 如图， $\text{[math]}$ 是水平放置的 $\text{[math]}$ 的斜二测直观图， $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形，其中 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积是（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . 4 D . $\text{[math]}$

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4. 在 $\text{[math]}$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影向量为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 在长方体 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的交点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点确定一个平面 B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点共线 C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 四点共面 D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 四点共面

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7. 如图，平行四边形ABCD中，M是BC中点，N是CD上靠近点D的三等分点，若 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为平行四边形， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上，且满足 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 下列说法正确的有（）

A . 若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是单位向量，则 $\text{[math]}$ B . 若非零向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是相反向量，则 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线

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10. $\text{[math]}$ 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 已知正四棱柱 $\text{[math]}$ 的底面边长为2，侧棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为上底面 $\text{[math]}$ 上的动点（包括边界），则下列结论中正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则满足条件的 $\text{[math]}$ 点不唯一 B . 若 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的轨迹是一段圆弧 C . 若 $\text{[math]}$ ∥平面 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ∥平面 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则平面 $\text{[math]}$ 截正四棱柱 $\text{[math]}$ 的外接球所得平面图形的面积为 $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶､石瓢壶､潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（其他因素忽略不计），如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位： $\text{[math]}$ ），那么该壶的侧面积约为 $\text{[math]}$ .

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13. 设 $\text{[math]}$ ，向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的取值范围为．

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14. 已知 $\text{[math]}$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，M是边BC边上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知复数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为虚数单位， $\text{[math]}$ ），且 $\text{[math]}$ 是纯虚数.
1. （1）求复数 $\text{[math]}$ ；
2. （2）在复平面内，复数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 对应的点位于第三象限，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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16. 已知向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．
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17. 已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的外接圆半径为R，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求B；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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18. 如图，正三棱柱 $\text{[math]}$ 中，E、F、G分别为棱 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ∥平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）在线段 $\text{[math]}$ 是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得平面 $\text{[math]}$ ∥平面 $\text{[math]}$ ？若存在，请指出并证明；若不存在，请说明理由．
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19. 重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄O为吸引游客，准备在门前两条小路OA和OB之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知 $\text{[math]}$ ，弓形花园的弦长 $\text{[math]}$ ，记弓形花园的顶点为 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ .
1. （1）将 $\text{[math]}$ 用含有 $\text{[math]}$ 的关系式表示出来；
2. （2）该山庄准备在 $\text{[math]}$ 点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计 $\text{[math]}$ 的长度，才使得喷泉 $\text{[math]}$ 与山庄 $\text{[math]}$ 的距离的值最大？
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