湖南省名校联考联合体2023-2024学年高一下学期期中考试...

更新时间：2024-07-24 浏览次数：11 类型：期中考试

一、､选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的.）

1. (2024高一下·湖南期中) 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 2 B . 4 C . 16 D . $\text{[math]}$

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2. (2024高一下·湖南期中) 设复数 $\text{[math]}$ ，则复平面内 $\text{[math]}$ 对应的点位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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3. (2024高一下·湖南期中) 已知点 $\text{[math]}$ ，则与向量 $\text{[math]}$ 共线的单位向量为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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4. (2024高一下·湖南期中) 如图，已知 $\text{[math]}$ 的半径为4，若劣弧 $\text{[math]}$ 长为 $\text{[math]}$ ，则劣弧 $\text{[math]}$ 所对圆周角的正弦的平方为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024高一下·湖南期中) 已知矩形 $\text{[math]}$ 的长 $\text{[math]}$ ，宽 $\text{[math]}$ .点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上运动（不与 $\text{[math]}$ 两点重合），则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2024高一下·湖南期中) 设 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则角 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024高一下·湖南期中) 声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的.纯音的数学模型是函数 $\text{[math]}$ .声音的音调､响度､音长和音色等要素都与正弦函数及其参数有关.比如：振幅会影响响度，振幅越大，响度越大，振幅越小，响度越小；频率会影响音调，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.平常我们听到的每个音都是由纯音合成的，可用函数 $\text{[math]}$ 来描述.设某声音甲的函数模型为 $\text{[math]}$ ，纯音乙的函数模型是 $\text{[math]}$ ，结合上述材料进行分析，下列说法正确的是（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 的图象关于 $\text{[math]}$ 轴对称 B . 函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递减 C . 声音甲的响度一定比纯音乙的响度小 D . 声音甲一定比纯音乙更低沉

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8. (2024高一下·湖南期中) 如图，已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为3，点 $\text{[math]}$ 分别在棱 $\text{[math]}$ 上，满足 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在正方体的面 $\text{[math]}$ 内，且 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 长度的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 3 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、､多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9. (2024高一下·湖南期中) 下列说法正确的是（）

A . 单位向量都相等 B . 非零向量 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ C . 在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形 D . 若 $\text{[math]}$ 是平面内所有向量的一个基底，则 $\text{[math]}$ 也可以作为平面向量的基底

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10. (2024高一下·湖南期中) 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，下列结论中正确的有（）

A . 平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . 直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角的正切值是 $\text{[math]}$ C . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球的表面积是 $\text{[math]}$ D . 该三棱柱各侧面的所有面对角线长的平方和等于它所有棱长的平方和的3倍

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11. (2024高一下·湖南期中) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上为单调函数，若函数 $\text{[math]}$ 有两个不同的零点，则实数 $\text{[math]}$ 的取值可以是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、､填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）

12. (2024高一下·湖南期中) 如图， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 表示水平放置的 $\text{[math]}$ 的直观图， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴垂直，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上的高为.

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13. (2024高一下·湖南期中) 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的大小关系为.（用“<”号表示）

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14. (2024高一下·湖南期中) “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形的四心（重心､内心､外心､垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 内一点， $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ ，则有 $\text{[math]}$ .已知 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的内心，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为.

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四、､解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）

15. (2024高一下·观山湖月考) 设 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求角 $\text{[math]}$ 的大小；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，角 $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 边于 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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16. (2024高一下·湖南期中) 已知向量 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ 是锐角三角形，角 $\text{[math]}$ 所对应的边分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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17. (2024高一下·湖南期中) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）证明： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积；
3. （3）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的大小.
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18. (2024高一下·湖南期中) 城市住宅小区的绿化建设是提升小区品质､改善空气质量､创造美丽怡人的居住环境的重要组成部分.如图1，长沙市某小区居民决定在小区内部一块半径长为 $\text{[math]}$ 的半圆形荒地上建设一块矩形绿化园 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 位于半圆 $\text{[math]}$ 的直径上， $\text{[math]}$ 位于半圆 $\text{[math]}$ 的圆弧上，记 $\text{[math]}$ .
1. （1）求矩形 $\text{[math]}$ 面积 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数解析式，并求该矩形面积的最大值以及取得最大值时 $\text{[math]}$ 的值.
2. （2）部分居民提出意见，认为这样的绿化同建设太过单调，一名居住在本小区的设计师提出了如图2的绿化园建设新方案：在半圆 $\text{[math]}$ 的圆弧上取两点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，扇形区域 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均进行绿化建设，同时，在扇形 $\text{[math]}$ 内，再将矩形区域 $\text{[math]}$ 也全部进行绿化建设，其中 $\text{[math]}$ 分别在直线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 平行， $\text{[math]}$ 在扇形 $\text{[math]}$ 的圆弧上，请问：与（1）中的原方案相比，选择哪一种方案所得到的绿化面积的最大值更大？
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19. (2024高一下·湖南期中) 在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数.其中，双曲余弦函数： $\text{[math]}$ ，双曲正弦函数： $\text{[math]}$ ，双曲正切函数： $\text{[math]}$ .
1. （1）写出函数 $\text{[math]}$ 的单调区间，并求它的值域；
2. （2）若关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
3. （3）已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的内心，求点 $\text{[math]}$ 的横坐标.
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