湖南省邵阳市2024届高三下学期第三次联考数学试卷

更新时间：2024-07-04 浏览次数：24 类型：高考模拟

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. (2024高三下·邵阳模拟) 已知复数 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 是虚数单位，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . 2 D . 4

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2. (2024高三下·邵阳模拟) 已知全集 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如图所示，则图中阴影部分表示的集合是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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3. (2024高三下·邵阳模拟) “ $\text{[math]}$ ”是“函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ）在 $\text{[math]}$ 上单调递减”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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4. (2024高三下·邵阳模拟) 下列函数对于任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ 成立的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024高三上·昆明月考) 已知曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线与抛物线 $\text{[math]}$ 也相切，则实数 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 0 B . $\text{[math]}$ C . 1 D . 0或1

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6. (2024高三下·邵阳模拟) 甲、乙两个工厂代加工同一种零件，甲加工的次品率为 $\text{[math]}$ ，乙加工的次品率为 $\text{[math]}$ ，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙工厂加工的零件数分别占总数的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是乙工厂加工的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024高三下·邵阳模拟) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的焦点在圆 $\text{[math]}$ 上，且圆 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 有公共点，则双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024高三下·邵阳模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 及其导函数 $\text{[math]}$ 的定义域均为 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称．若对任意 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 不为周期函数 B . $\text{[math]}$ 的图象不关于点 $\text{[math]}$ 对称 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. (2024高三下·邵阳模拟) 下列说法正确的有（）

A . 若角 $\text{[math]}$ 的终边过点 $\text{[math]}$ ，则角 $\text{[math]}$ 的集合是 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若扇形的周长为 $\text{[math]}$ ，圆心角为 $\text{[math]}$ ，则此扇形的半径是 $\text{[math]}$

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10. (2024高三下·邵阳模拟) 如图所示，点 $\text{[math]}$ 为正方体形木料 $\text{[math]}$ 上底面的动点，则下列结论正确的有（）

A . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为定值 B . 存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ C . 不存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ D . 经过点 $\text{[math]}$ 在上底面上画一条直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 垂直，若 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 重合，则点 $\text{[math]}$ 为上底面中心

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11. (2024高三下·邵阳模拟) 英国数学家泰勒发现了如下公式：
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
某数学兴趣小组在研究该公式时，提出了如下猜想，其中正确的有（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ （精确到小数点后两位） C . $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

12. (2024高三上·珠海月考) $\text{[math]}$ 的展开式中常数项是．（用数字作答）

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13. (2024高三下·邵阳模拟) 宋朝诗人王镃在《蜻蜓》中写到：“轻绡剪翅约秋霜，点水低飞恋野塘”，描绘了蜻蜓点水的情形，蜻蜓点水会使平静的水面形成水波纹，截取其中一段水波纹，其形状可近似地用函数 $\text{[math]}$ 的图象来描述，如图所示，则 $\text{[math]}$ ．

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14. (2025·) 已知 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 三个内角 $\text{[math]}$ 的对边，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (2024高三下·邵阳模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的单调递增区间；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 有且仅有三个零点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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16. (2024高三下·邵阳模拟) 如图所示，四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上的动点．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．
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17. (2024高三下·邵阳模拟) 如图所示，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的动点（ $\text{[math]}$ 不与端点 $\text{[math]}$ 重合）， $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，记动点 $\text{[math]}$ 的轨迹为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上不同的两点， $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴对称的点为 $\text{[math]}$ ，记直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点为 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 为等边三角形，且 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离的取值范围．
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18. (2024高三下·邵阳模拟) 某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼，并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数 $\text{[math]}$ 与天数 $\text{[math]}$ 的情况，对统计得到的样本数据 $\text{[math]}$ 作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
5.5
8.7
1.9
301
385
79.75
表中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
参考公式： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．
$\text{[math]}$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$\text{[math]}$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
1. （1）依据散点图推断， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 哪一个更适合作为未佩戴头盔人数 $\text{[math]}$ 与天数 $\text{[math]}$ 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
2. （2）依据（1）的结果和上表中的数据求出 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的回归方程．
3. （3）为了解佩戴头盔情况与性别的关联性，交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查，得到如下列联表：
  性别
  佩戴头盔
  合计
  不佩戴
  佩戴
  女性
  8
  12
  20
  男性
  14
  6
  20
  合计
  22
  18
  40
  依据 $\text{[math]}$ 的独立性检验，能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联？
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19. (2024高三下·邵阳模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均为实数．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
  （ⅰ）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
  （ⅱ）设数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．
2. （2）若 $\text{[math]}$ 为奇函数， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，
  问：当 $\text{[math]}$ 时，是否存在整数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 成立．若存在，求出 $\text{[math]}$ 的最大值；若不存在，请说明理由．（附： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
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