四川省眉山市2024届高三下学期第三次诊断考试数学（文）试卷

更新时间：2024-07-19 浏览次数：13 类型：高考模拟

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 在复平面内， $\text{[math]}$ 对应的点位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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2. 设全集 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 采购经理指数（PMI），是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一，具有较强的预测、预警作用，综合PMI产出指数是PMI指标体系中反映当期全行业（制造业和非制造业）产出变化情况的综合指数，指数高于50%时，反映企业生产经营活动较上月扩张；低于50%，则反映企业生产经营活动较上月收缩.2023年我国综合PMI产出指数折线图如下图所示：
根据该折线图判断，下列结论正确的是（）

A . 2023年各月综合PMI产出指数的中位数高于53% B . 2023年各月，我国企业生产经营活动景气水平持续扩张 C . 2023年第3月至12月，我国企业生产经营活动景气水平持续收缩 D . 2023年上半年各月综合PMI产出指数的方差小于下半年各月综合PMI产出指数的方差

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4. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 执行如图所示的程序框图，则输出的 $\text{[math]}$ （）

A . 3 B . 4 C . 5 D . 6

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7. 下列各选项对应的函数中，其大致图象是如图所示的一项为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 设O为坐标原点，过点 $\text{[math]}$ 的直线与抛物线 $\text{[math]}$ 的交于M ， N两点，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 0 D . 4

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9. 如图，该组合体由一个正四棱柱 $\text{[math]}$ 和一个正四棱锥 $\text{[math]}$ 组合而成，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$

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10. 给出下述三个结论：①函数 $\text{[math]}$ 的最小正周期为；②函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 单调递增；③函数 $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称，其中所有正确结论的编号是（）

A . ①②③ B . ②③ C . ①③ D . ②

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11. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点A在C上，点B在y轴上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则C的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 若关于x的不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，则的 $\text{[math]}$ 最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 若x ， y满足约束条件 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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14. 已知 $\text{[math]}$ 的三边长 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ．

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15. 已知函数 $\text{[math]}$ 是定义域为R的奇函数，且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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16. 已知相互垂直的两个平面分别截球O的球面，得到两个圆 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其半径分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，两圆的公共弦的中点为M ，设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生依据要求作答。（一）必考题：共60分。

17. 某公司为改进生产，现对近5年来生产经营情况进行分析．收集了近5年的利润y（单位：亿元）与5年份代码x共5组数据（其中5年份代码 $\text{[math]}$ ， 2，3，4，5分别指2019年，2020年，…，2023年），并得到如下值： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
附：① $\text{[math]}$ ；
②若 $\text{[math]}$ ，相关程度很强； $\text{[math]}$ ，相关程度一般； $\text{[math]}$ ，相关程度较弱；
③一组数据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， ⋯， $\text{[math]}$ ，其回归直线 $\text{[math]}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；相关系数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若用线性回归模型拟合变量y与x的相关关系，计算该样本相关系数r ，并判断变量y与x的相关程度（r精确到0.01）；
2. （2）求变量y关于x的线性回归方程，并求2024年利润y的预报值．
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18. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ．
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19. 如图，在多面体 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 为矩形，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的距离．
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20. 已知椭圆C： $\text{[math]}$ 的离心率是 $\text{[math]}$ ，左、右顶点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在椭圆C上；
1. （1）求椭圆C的方程；
2. （2）若点P为直线 $\text{[math]}$ 上的动点，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交椭圆C于M ， N两点，证明：直线 $\text{[math]}$ 过定点．
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21. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增，求a的取值范围；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 有两个不同极值点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
  ①求a的取值范围；
  ②当 $\text{[math]}$ 时，证明： $\text{[math]}$ ．
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四、（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22. [选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的圆心为 $\text{[math]}$ ，半径为2，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的极坐标方程；
2. （2）过点O的直线交 $\text{[math]}$ 于P ， Q两点，求 $\text{[math]}$ 的最大值．
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23. [选修4-5：不等式选讲]
已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若对任意 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 恒成立，求a的取值范围；
2. （2）令 $\text{[math]}$ 的最小值为M ．若正数a ， b ， c满足 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．
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