重庆市荣昌中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数...

更新时间：2024-06-28 浏览次数：9 类型：期中考试

一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域．）

1. (2024高一下·荣昌期中) 已知点 $\text{[math]}$ ，向量 $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ ( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高一下·荣昌期中) $\text{[math]}$ 按斜二测画法得到 $\text{[math]}$ ，如图所示，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 的形状是（）

A . 等边三角形 B . 直角三角形 C . 腰和底边不相等的等腰三角形 D . 三边互不相等的三角形

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3. (2024高一下·荣昌期中) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2024高一下·荣昌期中) 在 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ，则该三角形的形状一定是（）

A . 等腰三角形 B . 等腰直角三角形 C . 等腰三角形或直角三角形 D . 等边三角形

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5. (2024高一下·荣昌期中) 在正四面体 $\text{[math]}$ 中，棱长为2，且 $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 中点，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2024高一下·荣昌期中) 如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这是水面恰好是中截面，则图1中容器水面的高度是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024高一下·荣昌期中) 如图，正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为1，动点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，则下列结论中错误的是 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

A . $\text{[math]}$ B . 当E为 $\text{[math]}$ 中点时，BE⊥FM C . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为定值 D . 存在点 $\text{[math]}$ ，使得平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$

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8. (2024高一下·荣昌期中) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）

9. (2024高一下·荣昌期中) （多选）下列命题中的真命题是（）

A . 若直线 $\text{[math]}$ 不在平面 $\text{[math]}$ 内，则 $\text{[math]}$ B . 若直线 $\text{[math]}$ 上有无数个点不在平面 $\text{[math]}$ 内，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 内任何一条直线都没有公共点 D . 平行于同一平面两直线可以相交

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10. (2024高一下·荣昌期中) 已知复数 $\text{[math]}$ ，其中i为虚数单位，则下列结论正确的有（）

A . 复数z的共轭复数的模为1 B . 复数z在复平面内对应的点在第四象限 C . 复数z是方程 $\text{[math]}$ 的解 D . 复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为2

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11. (2024高一下·荣昌期中) 在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫 $\text{[math]}$ ，于1996年被收入世界文化遗产名录．现测量一个 $\text{[math]}$ 的屋顶，得到圆锥 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 为顶点， $\text{[math]}$ 为底面圆心），母线 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是母线 $\text{[math]}$ 的靠近点 $\text{[math]}$ 的三等分点．从点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 绕屋顶侧面一周安装灯光带，灯光带的最小长度为 $\text{[math]}$ ．下面说法正确的是（）

A . 圆锥 $\text{[math]}$ 的侧面积为 $\text{[math]}$ B . 过点 $\text{[math]}$ 的平面截此圆锥所得截面面积最大值为 $\text{[math]}$ C . 圆锥 $\text{[math]}$ 的外接球的表面积为 $\text{[math]}$ D . 棱长为 $\text{[math]}$ 的正四面体在圆锥 $\text{[math]}$ 内可以任意转动

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三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．）

12. (2024高一下·荣昌期中) 若一个球的体积为 $\text{[math]}$ ，则它的表面积为．

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13. (2024高一下·荣昌期中) 平面向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角等于 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角，则 $\text{[math]}$ ．

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14. (2024高一下·荣昌期中) 正三棱柱 $\text{[math]}$ 中，所有棱长均为2，点E ， F分别为棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，则直线EF与直线BC所成角的余弦值为；若过点A ， E ， F作一截面，则截面的周长为.

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四、解答题：（本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. (2024高一下·荣昌期中) 回答下列问题
1. （1）已知复数 $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的根（ $\text{[math]}$ 是虚数单位， $\text{[math]}$ ），求 $\text{[math]}$ ．
2. （2）已知复数 $\text{[math]}$ ，设复数 $\text{[math]}$ ，（ $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的共轭复数），且复数 $\text{[math]}$ 所对应的点在第三象限，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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16. (2024高一下·荣昌期中) 在 $\text{[math]}$ 中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ， D是AC边上的点， $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的大小；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求BC的长.
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17. (2024高一下·荣昌期中) 如图：在正方体 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）求三棱锥 $\text{[math]}$ 体积；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
3. （3）若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .
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18. (2024高一下·荣昌期中) 如图：某公园改建一个三角形池塘， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （百米）， $\text{[math]}$ （百米），现准备养一批观赏鱼供游客观赏．
1. （1）若在 $\text{[math]}$ 内部取一点P ，建造APC连廊供游客观赏，如图①，使得点P是等腰三角形PBC的顶点，且 $\text{[math]}$ ，求连廊 $\text{[math]}$ 的长（单位为百米）；
2. （2）若分别在AB ， BC ， CA上取点D ， E ， F ，并建行连廊，使得 $\text{[math]}$ 变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏．如图②，当 $\text{[math]}$ 为正三角形时，求 $\text{[math]}$ 的面积的最小值．
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19. (2024高一下·荣昌期中) 三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为空间向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的叉乘，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为单位正交基底.以 $\text{[math]}$ 为坐标原点，分别以 $\text{[math]}$ 的方向为 $\text{[math]}$ 轴､ $\text{[math]}$ 轴､ $\text{[math]}$ 轴的正方向建立空间直角坐标系，已知 $\text{[math]}$ 是空间直角坐标系中异于 $\text{[math]}$ 的不同两点.
1. （1） ①若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；
  ②证明： $\text{[math]}$ .
2. （2）记 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ；
3. （3）问： $\text{[math]}$ 的几何意义表示以 $\text{[math]}$ 为底面､ $\text{[math]}$ 为高的三棱锥体积的多少倍？
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