辽宁省七校协作体2023-2024学年高二下学期6月联考数学...

更新时间：2024-07-30 浏览次数：14 类型：月考试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. (2024高二下·辽宁月考) 在正项等比数列 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . 2 C . 4 D . 8

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2. (2024高二下·辽宁月考) 如图，由观测数据 $\text{[math]}$ 的散点图可知， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的关系可以用模型 $\text{[math]}$ 拟合，设 $\text{[math]}$ ，利用最小二乘法求得 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的回归方程 $\text{[math]}$ ．已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . $\text{[math]}$

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3. (2024高二下·辽宁月考) 图1是第七届国际数学教育大会（简称 $\text{[math]}$ ）的会徽图案，会徽的主题图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中 $\text{[math]}$ ，如果把图2中的直角三角形继续作下去，则第 $\text{[math]}$ 个三角形的面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2024高二下·辽宁月考) 下列说法中正确的有（）

A . 已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下28个数据的 $\text{[math]}$ 分位数可能等于原样本数据的 $\text{[math]}$ 分位数； B . 若A、B两组成对数据的样本相关系数分别为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 组数据比 $\text{[math]}$ 组数据的线性相关性强； C . 设随机变量 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ； D . 某人参加一次游戏，游戏有三个题目，每个题目答对的概率都为0.5，答对题数多于答错题数可得4分，否则得2分，则某人参加游戏得分的期望为3

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5. (2024高二下·上饶月考) 已知函数 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线 $\text{[math]}$ 平行，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2024高二下·辽宁月考) 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次向上的点数是2”为事件 $\text{[math]}$ ， “第二次向上的点数是奇数”为事件 $\text{[math]}$ ， “两次向上的点数之和能被3整除”为事件 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . 事件 $\text{[math]}$ 与事件 $\text{[math]}$ 互为对立事件 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 事件 $\text{[math]}$ 与事件 $\text{[math]}$ 相互不独立

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7. (2024高二下·辽宁月考) 设数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 是等比数列 B . $\text{[math]}$ 成等差数列，公差为－9 C . 当且仅当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 取得最大值 D . $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最大值为33

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8. (2024高二下·辽宁月考) 设函数 $\text{[math]}$ ，若不等式 $\text{[math]}$ 恰有两个整数解，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. (2024高二下·顺德月考) 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，下列说法正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ 是等差数列， $\text{[math]}$ ，则使 $\text{[math]}$ 的最大正整数 $\text{[math]}$ 的值为15 B . 若 $\text{[math]}$ 是等比数列， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数），则必有 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ 是等比数列，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ 为递增等差数列

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10. (2024高二下·辽宁月考) 甲、乙、丙、丁四名同学相约去电影院看春节档热映的《热辣滚烫》、《飞驰人生 $\text{[math]}$ 、《第二十条》三部电影，每人都要看且限看其中一部．记事件 $\text{[math]}$ 为“恰有两名同学所看电影相同”，事件 $\text{[math]}$ 为“只有甲同学一人看《飞驰人生 $\text{[math]}$ ”，则（）

A . 四名同学看电影情况共有 $\text{[math]}$ 种 B . “每部电影都有人看”的情况共有72种 C . $\text{[math]}$ ． D . “四名同学最终只看了两部电影”的概率是 $\text{[math]}$

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11. (2024高二下·辽宁月考) 已知函数 $\text{[math]}$ ，下列说法正确的是（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 存在唯一极值点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ B . 令 $\text{[math]}$ ，则函数 $\text{[math]}$ 无零点 C . 若 $\text{[math]}$ 恒成立，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. (2024高二下·辽宁月考) 设等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则使 $\text{[math]}$ 的最小正整数 $\text{[math]}$ 的值是．

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13. (2024高二下·辽宁月考) 函数 $\text{[math]}$ ．对于 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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14. (2024高二下·辽宁月考) 已知有 $\text{[math]}$ 两个盒子，其中 $\text{[math]}$ 盒装有3个黑球和3个白球， $\text{[math]}$ 盒装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．甲从A盒、乙从B盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入 $\text{[math]}$ 盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入B盒中．按上述方法重复操作两次后，B盒中恰有7个球的概率是．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (2024高二下·辽宁月考) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）讨论函数 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）设函数 $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上为增函数，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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16. (2024高二下·辽宁月考) 已知数列 $\text{[math]}$ 为等差数列， $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，
  ①求 $\text{[math]}$ ；
  ②若 $\text{[math]}$ 对 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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17. (2024高二下·辽宁月考) 某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了解学生参加活动的情况，统计了全校所有学生在假期每周锻炼的时间，现随机抽取了60名同学在某一周参加锻炼的数据，整理如 $\text{[math]}$ 下列联表：
性别
不经常锻炼
经常锻炼
合计
男生
7

女生

16
30
合计
21

注：将一周参加锻炼时间不小于3小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．
附： $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
0.1
0.05
0.01
$\text{[math]}$
2.706
3.841
6.635
1. （1）请完成上面 $\text{[math]}$ 列联表，并依据小概率值 $\text{[math]}$ 的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系；
2. （2）将一周参加锻炼为0小时的称为“极度缺乏锻炼”．在抽取的60名同学中有5人“极度缺乏锻炼”．以样本频率估计概率．若在全校抽取20名同学，设“极度缺乏锻炼”的人数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的数学期望 $\text{[math]}$ 和方差 $\text{[math]}$ ；
3. （3）将一周参加锻炼6小时以上的同学称为“运动爱好者”．在抽取的60名同学中有10名“运动爱好者”，其中有7名男生，3名女生．为进一步了解他们的生活习惯，在10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望．
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18. (2024高二下·辽宁月考) 已知函数 $\text{[math]}$ ，常数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 取得极小值-2，求函数 $\text{[math]}$ 的极大值．
2. （2）设定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内恒成立，则称点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的“类优点”，若点 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的“类优点”，
  ①求函数 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
  ②求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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19. (2024高二下·辽宁月考) 定义首项为1且公比为正数的等比数列为“ $\text{[math]}$ 数列”．
1. （1）已知等比数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ．求证：数列 $\text{[math]}$ 为“ $\text{[math]}$ 数列”；
2. （2）已知各项为正数的数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 是数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和．
  ①求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
  ②设 $\text{[math]}$ 为正整数，若存在“ $\text{[math]}$ -数列” $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），对任意正整数 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，都有 $\text{[math]}$ 成立，求 $\text{[math]}$ 的最大值．
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