广东省江门市新会第一中学2024届高三下学期高考热身考试数学...

更新时间：2024-08-09 浏览次数：3 类型：月考试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. (2024高三下·新会月考) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的元素个数为（）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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2. (2024高三下·新会月考) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，长轴长为4，则该椭圆的短轴长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024高三下·新会月考) 已知 $\text{[math]}$ 为等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2024高三下·新会月考) 八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 给出下列结论，其中正确的结论为（）

A . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影向量为 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 为与 $\text{[math]}$ 同向的单位向量）

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5. (2024高三下·新会月考) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的展开式中二项式系数的最大值分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的大小关系与 $\text{[math]}$ 有关

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6. (2024高三下·新会月考) 人工智能领域让贝叶斯公式： $\text{[math]}$ 站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有 $\text{[math]}$ 的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有 $\text{[math]}$ 的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024高三下·新会月考) 如图，圆台的上、下底面半径分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，半径为4的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024高三下·新会月考) 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 是自然对数的底数.若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. (2024高三下·新会月考) 已知 $\text{[math]}$ 是关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 的两个根，其中 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2024高二下·枣庄期末) 已知两个变量y与x对应关系如下表：
x
1
2
3
4
5
y
5
m
8
9
10.5
若y与x满足一元线性回归模型，且经验回归方程为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . y与x正相关 B . $\text{[math]}$ C . 样本数据y的第60百分位数为8 D . 各组数据的残差和为0

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11. (2024高三下·新会月考) 已知函数 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 若 $\text{[math]}$ 的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度后与 $\text{[math]}$ 的图象重合，则 $\text{[math]}$ 的最小值为1 B . 若 $\text{[math]}$ 的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度后得到函数 $\text{[math]}$ 的图象，则 $\text{[math]}$ 的最小值为5 C . 若函数 $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ 的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度后得到函数 $\text{[math]}$ 的图象，则方程 $\text{[math]}$ 有无穷多个解

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. (2024高三下·新会月考) 已知函数 $\text{[math]}$ 的定义域为．

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13. (2024高一下·上海市期末) 已知 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. (2024高三下·新会月考) 已知曲线 $\text{[math]}$ 为坐标原点．给出下列四个结论：
①曲线 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 成轴对称图形；
②经过坐标原点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 有且仅有一个公共点；
③直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 所围成的图形的面积为 $\text{[math]}$ ；
④设直线 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 恰有三个公共点．其中所有正确结论的序号是．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. (2024高二下·南昌期末) 甲、乙两个不透明的袋中各装有6个大小质地完全相同的球，其中甲袋中有3个红球、3个黄球，乙袋中有1个红球、5个黄球．
1. （1）若从两袋中各随机地取出1个球，求这2个球颜色相同的概率；
2. （2）若先从甲袋中随机地取出2个球放入乙袋中，再从乙袋中随机地取出2个球，记从乙袋中取出的红球个数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列与期望．
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16. (2024高三下·新会月考) 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的中点，证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）当直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ 时，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值.
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17. (2024高三下·新会月考) 设 $\text{[math]}$ 是由满足下列条件的函数 $\text{[math]}$ 构成的集合：①方程 $\text{[math]}$ 有实根；② $\text{[math]}$ 在定义域区间 $\text{[math]}$ 上可导，且 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .
1. （1）判断 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是否是集合 $\text{[math]}$ 中的元素，并说明理由；
2. （2）设函数 $\text{[math]}$ 为集合 $\text{[math]}$ 中的任意一个元素，证明：对其定义域区间 $\text{[math]}$ 中的任意 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ .
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18. (2024高三下·新会月考) 如图， $\text{[math]}$ 为圆 $\text{[math]}$ 上一动点，过点 $\text{[math]}$ 分别作 $\text{[math]}$ 轴､ $\text{[math]}$ 轴的垂线，垂足分别为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的轨迹记为曲线 $\text{[math]}$ .
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若过点 $\text{[math]}$ 的两条直线 $\text{[math]}$ 分别交曲线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ ，求证：直线 $\text{[math]}$ 过定点；
3. （3）若曲线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴正半轴于点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 交于不同的两点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ 两点，试探究： $\text{[math]}$ 轴上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ？若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由.
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19. (2024高三下·新会月考) 约数，又称因数．它的定义如下：若整数 $\text{[math]}$ 除以整数 $\text{[math]}$ 除得的商正好是整数而没有余数，我们就称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的倍数，称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的约数．设正整数 $\text{[math]}$ 共有 $\text{[math]}$ 个正约数，记为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，若正整数 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 个正约数构成等比数列，请写出一个 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ 构成等比数列，求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）记 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．
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