定义新运算（小学数学竞赛专项训练）

认识典型模型提升解模能力发展建模思维

更新时间：2024-10-21 浏览次数：10 类型：竞赛测试

一、模型构建

1. (2024·东莞模拟) 规定“*”是一种新运算，a*b表示2a+b，如果3*4=2×3+4，那么10*5的最后结果是。

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2. (2024.9.23·渝北八中) 对于任意自然数a，b，如果有a*b=ab+a+b，已知x*（3*4）=119，则x=．

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3. (2024·) 规定a*b=(a+b)(a-b)，求49*9等于多少？

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4. (2023·巴蜀) 如果a※b表示 $\text{[math]}$ ，那么5※（4※8）=．

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5. (2020·海安) 我们学过加、减、乘、除四种运算。现在规定“★”是一种新运算，A★B=（A+2）×（B-1），如：3★5=（3+2）×（5-1）=20。如果9★x=88，那么x=。

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二、模型进阶

6. (融侨三中) 已知一个自然数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被13整除，那么这个自然数就一定能被13整除，我们把能被13整除的自然数称为“梦想数”
例如：判断26260是否为“梦想数”，这个数的末三位数字是260，末三位以前的数字组成的数是26，这两个数的差是：260- 26 = 234，234能被13整除，因此26260是“梦想数"
1. （1）判断1158和254514是否为“梦想数”，并说明理由：
2. （2）如果一个四位自然数M，千位和百位上的数字均为a，十位与个位上的数字均为6，我们就称它为“00KK数”。已知一个四位数N既是“梦想数”又是*OOKK数”求数M的信。
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7. (2024·汨罗) 现定义一种运算： $\text{[math]}$ ，则3*（4*6）＝（　　）

A . 2 B . 3 C . 4 D . 5

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8. (两江巴蜀) 规定一种新运算，m★n＝5m+3n，若x★9＝37，那么x的值是。

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9. (一中) 数学上，为了简便，把1到n的连续n个自然数的乘积记作n！，如 $\text{[math]}$ ，将1到n的连续n个自然数的和记作 $\text{[math]}$ ，如 $\text{[math]}$ 。计算 $\text{[math]}$ 。

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10. (2024·蒸湘) 用“◎”表示一种新的运算符号，已知：2◎3＝2+3+4；7◎2＝7+8；3◎5＝3+4+5+6+7，…按此规律，如果n◎8＝68，那么n是多少？

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11. (2024.7.30·两江巴蜀) 有这样一类三位数，它们的各位数字之和等于4，如130的各位数字之和是1+3+0=4，像这样的三位数共有个。

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三、模型挑战

12. (2024五下·西城期末) 读一读、填一填。
数学中有很多看似简单，但证明起未却非常困难的问题，“考拉兹猜想就是其中之一。这个猜想说的是：任何一个大于0的自然数，如果它是奇数就卖了再加上1；如果它是偶数，就除以2，按照这个规则不断地运算下去，最后总会得到1，并无法跳出4-2-1这个循环。
例如，5的交换过程是：5→16→8→4→2→1
42的交换过程是：42→21→64→32→16→8→4→2→1．
1. （1）根据“考拉兹猜想”的内容，“5→16”的变换过程用算式表示是，“42→21”的变换过程用算式表示是。
2. （2）在42的变换过程中，变成最大的数是6，那么在11的变换过程中，变成最大的数是。
3. （3）我是这样想的：
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13. (一中) 现代社会对保密要求越来越高，密码正在成为人们生活中的一部分。有一种密码的明文（真实文）按计算机键字母排列分解，其中Q、W、E、……N、M这26个字母依次对应1、2、3、……、25、26这26个自然数（见表）：
Q
W
E
R
T
Y
U
1
o
P
A
S
D
1
2
3
4
5
G
7
8
9
10
11
12
13
F
G
H
J
K
L
Z

C
v
B
N
M
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
给出一个变换公式：将明文转化为密文，如： $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 变为 $\text{[math]}$ 。
将密文转化为明文。如： 21→→3×（21-17）-2=10，即×变为Р。
已知不管是将明文转化为密文，还是将密文转化成明文y （或者是x）的值都是1≤x（y）≤26的自然数。
1. （1）按上述方法将明文N、E、T转化成密文。
2. （2）若按照上述方法将明文转化成的密文为D、W、N，请找出它明文。
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14. (2024.3.20·巴蜀) 若一个四位正整数 $\text{[math]}$ 的十位数字比个位数字大 1 ，百位数字是千位数字与个位数字的平均数，则称这样的数为 “千丝数”，把 “千丝数” M 的四个数字按从小到大的顺序从左到右进行排列后得到的新数 $\text{[math]}$ ，叫做 “千丝数” $\text{[math]}$ 的 “万缕数”，例如： 2598 ，其十位数字 $\text{[math]}$ ，百位数字 $\text{[math]}$ ，所以 2598 是 “千丝数”， 2589 就是 “千丝数” 2598 的 “万缕数”。对于 “千丝数” $\text{[math]}$ ，定义： $\text{[math]}$ 。
1. （1）判断： 4376“千丝数” ； 7787“千丝数”，（填 “是” 或者 “不是”）
2. （2）请证明：任意一个“千丝数”与它的个位数字的6倍之差能被5整除。
3. （3）若一个“千丝数”P能被31整除，求出所有的“千丝数”，及其对应的 T(P)的值。
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15. (2024.3.10·科学城巴蜀) 对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与 111 的商记为 F(n)，例如 n=123，对调百位与十位上的数字得到 213，对调百位与个位上的数字得到 321，对调十位与个位上的数字得到 132，这三个新三位数的和为 213+321+132=666，666÷111=6，所以 F(123)=6．
1. （1）计算：F(243)，F(617)；
2. （2）若 s，t都是“相异数”，其中 s=100x+32，r=150+y(l≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数)，规定 $\text{[math]}$ ，当F(s)+F(t)=18时，求k的最大值F(t)
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16. (巴蜀) 若一个四位正整数 $\text{[math]}$ 满足：a+d=b+c，我们就称该数是”心想事成数”。比如：对于四位数5263，
∵5+3=2+6， .5263是“心想事成数”，对于四位数1276，∵1+6≠2+7，∴1276不是“心想事成数”
1. （1）判断3625是否为"心想事成数”，并说明理由；
2. （2）若一个“心想事成数”，满足个位上的数字是百位上的数字的两倍，且千位上的数字与十位上的数字之和能被8整除，请求出所有满足条件的"心想事成数”。
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