广东省汕头市龙湖实验中学2024-2025学年九年级上学期第...

更新时间：2024-10-31 浏览次数：1 类型：月考试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.

1. (2024九上·龙湖月考) 下列方程是一元二次方程的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024九上·龙湖月考) 若 $\text{[math]}$ 是关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的一个根，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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3. (2024九下·平山模拟) 把抛物线 $\text{[math]}$ 的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的函数关系式是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2024九上·龙湖月考) 若二次函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ ，则该图象必经过点（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024九上·湛江月考) 两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为 $\text{[math]}$ ，根据题意，下列方程正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2024九上·龙湖月考) 若二次函数y＝x²﹣2x+a有最小值为6，则a的值为（）

A . ﹣6 B . 6 C . ﹣7 D . 7

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7. (2024九上·龙湖月考) 若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 上的三点，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024九上·龙湖月考) 若实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 或4 C . 4 D . 1或 $\text{[math]}$

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9. (2024九上·龙湖月考) 已知一个二次函数 $\text{[math]}$ 的自变量 $\text{[math]}$ 与函数 $\text{[math]}$ 的几组对应值如下表与描点如下图，则下列关于这个二次函数的结论正确的是（）
x
…
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
0
3
5
…
y
…
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
0
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
…

A . 图象的开口向上 B . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的值随 $\text{[math]}$ 的值增大而增大 C . 图象经过第二、三、四象限 D . 图象的对称轴是直线 $\text{[math]}$

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10. (2024九上·龙湖月考) 如图，正方形 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上．若A，C两点的横坐标分别为 $\text{[math]}$ ，下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.

11. (2024九上·龙湖月考) 方程 $\text{[math]}$ 的根是．

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12. (2024九上·龙湖月考) 二次函数 $\text{[math]}$ 的顶点坐标为.

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13. (2024九上·龙湖月考) 抛物线 $\text{[math]}$ 得关于 $\text{[math]}$ 轴对称得到的抛物线的解析式为.

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14. (2024九上·成都月考) 关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个实数根，则m的取值范围是．

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15. (2024九上·龙湖月考) 如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 经过矩形 $\text{[math]}$ 的两个顶点A、B， $\text{[math]}$ 平行于 $\text{[math]}$ 轴，对角线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则矩形 $\text{[math]}$ 的面积为.

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三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分.

16. (2024九上·龙湖月考) 解方程： $\text{[math]}$ ；

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17. (2024九上·龙湖月考) 画抛物线 $\text{[math]}$
1. （1）列表如图；
  x
  …
  
  …
  y
  …
  
  …
2. （2）在坐标系中画出此抛物线.
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18. (2024九上·龙湖月考) 已知关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：无论 $\text{[math]}$ 取何值，方程都有两个不相等的实数根；
2. （2）如果方程的两个实数根为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.

19. (2024九上·龙湖月考) 如图，已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求二次函数的表达式及对称轴；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 是二次函数图象上的一点，线段 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点D， $\text{[math]}$ 的面积等于 $\text{[math]}$ 面积的2倍，求点 $\text{[math]}$ 的坐标．
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20. (2024九上·龙湖月考) 某酒店有 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两种客房、其中 $\text{[math]}$ 种 $\text{[math]}$ 间， $\text{[math]}$ 种 $\text{[math]}$ 间．若全部入住，一天营业额为 $\text{[math]}$ 元；若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两种客房均有 $\text{[math]}$ 间入住，一天营业额为 $\text{[math]}$ 元．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两种客房每间定价分别是多少元?
2. （2）酒店对 $\text{[math]}$ 种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加 $\text{[math]}$ 元，就会有一个房间空闲；当 $\text{[math]}$ 种客房每间定价为多少元时， $\text{[math]}$ 种客房一天的营业额 $\text{[math]}$ 元?
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21. (2024九上·龙湖月考) 综合与数学史
【主题】勾股与方程
由两个全等的 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 构成如图所示的四边形 $\text{[math]}$ ，已知直角三角形的直角边长分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，斜边长为 $\text{[math]}$ ，则分别以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为二次项系数、一次项系数和常数项构造的一元二次方程 $\text{[math]}$ ，称为勾股方程．
【探索历史】
1. （1）美国第20届数学家总统伽菲尔德就是用图1证明了勾股定理（史称总统证法），请你写出具体的证明过程；
2. （2）若勾股方程 $\text{[math]}$ 有两个相等的实数根，将四个全等直角三角形构成赵爽弦图（图2），求阴影部分的面积．
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五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分

22. (2024九上·龙湖月考) 【知识技能】
（1）如图1，矩形 $\text{[math]}$ 在坐标系中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一动点（异于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点），当 $\text{[math]}$ 在什么位置时， $\text{[math]}$ 为直角三角形；
【数学理解】
（2）如图2， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一动点（异于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点），当 $\text{[math]}$ 满足什么条件时，使 $\text{[math]}$ 为直角三角形的 $\text{[math]}$ 点有且只有一个?
【拓展探究】
（3）如图3，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一动点（异于A，B两点），矩形沿 $\text{[math]}$ 折叠，得点 $\text{[math]}$ ．经过点 $\text{[math]}$ 再次折叠，使点 $\text{[math]}$ 落在直线 $\text{[math]}$ 上，得点 $\text{[math]}$ 和折痕 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 恰好落在边 $\text{[math]}$ 上时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标．

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23. (2024九上·龙湖月考) 【问题背景】
已知抛物线 $\text{[math]}$ （a，b为常数， $\text{[math]}$ ）的顶点为 $\text{[math]}$ ，对称轴与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在抛物线上， $\text{[math]}$ 为坐标原点.
【构建联系】
（1）如图1，当 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 时，求该抛物线顶点 $\text{[math]}$ 的坐标；
（2）如图2，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；
【深入探究】
（3）如图3，若 $\text{[math]}$ 是抛物线上的点，且点 $\text{[math]}$ 在第四象限， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 取得最小值为 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值.

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