河北省秦皇岛市山海关第一中学2025届高三上学期一模数学试题

更新时间：2024-12-31 浏览次数：1 类型：高考模拟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. (2024高三上·山海关模拟) 已知集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的真子集个数为（）

A . 5个 B . 6个 C . 7个 D . 8个

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2. (2024高三上·山海关模拟) 若干人站成一排，其中为互斥事件的是（）

A . “甲站排头”与“乙站排头” B . “甲站排头”与“乙站排尾” C . “甲站排头”与“乙不站排头” D . “甲不站排头”与“乙不站排头”

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3. (2024高三上·山海关模拟) 抛物线 $\text{[math]}$ 的准线方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2024高三上·山海关模拟) 已知直线 $\text{[math]}$ 是三条不同的直线，平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是三个不同的平面，下列命题正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三个平面最多可将空间分割成8个部分

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5. (2024高三上·山海关模拟) 若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（）

A . 24 B . 32 C . 96 D . 128

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6. (2024高三上·山海关模拟) 已知双曲线 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 两条渐近线的垂线，垂足分别为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024高三上·山海关模拟) 直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 的交点个数为（）

A . 2 B . 3 C . 4 D . 5

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8. (2024高三上·蓬溪期中) 已知函数 $\text{[math]}$ ，若不等式 $\text{[math]}$ 的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. (2024高三上·山海关模拟) 已知奇函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的一个周期为 $\text{[math]}$

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10. (2024高三上·山海关模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 的图象过点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 值域为 $\text{[math]}$ D . 函数 $\text{[math]}$ 有三个零点

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11. (2024高三上·山海关模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的导函数，则（）

A . “ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ 为奇函数”的充要条件 B . “ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ 为增函数”的充要条件 C . 若不等式 $\text{[math]}$ 的解集为 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的极小值为 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的两个不同的根，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. (2024高三上·山海关模拟) 二项式 $\text{[math]}$ 的展开式中 $\text{[math]}$ 的系数为.

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13. (2024高三上·山海关模拟) 已知 $\text{[math]}$ 是定义在R上的奇函数， $\text{[math]}$ 为偶函数.当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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14. (2024高三上·山海关模拟) 二阶魔方是一个 $\text{[math]}$ 的正方体，由8个角块组成，没有中心块和棱块，结构相对简单.若空间中方向不同但状态相同（即通过整体旋转后相同）的情况只算一种，则任意二阶魔方共有种不同的状态.（提示：任选其中1个角块作为参考，则其余7块能自由排列，在这7块中，任意确定6块，最后1块也就唯一确定了）

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. (2024高三上·龙岗月考) 已知 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 三个内角 $\text{[math]}$ 的对边，且 $\text{[math]}$
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上一点，满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．
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16. (2024高三上·山海关模拟) 4月19日是中国传统二十四节气之一的“谷雨”，联合国将这天定为“联合国中文日”，以纪念“中华文字始祖”仓颉[jié]造字的贡献，旨在庆祝多种语言以及文化多样性，促进联合国六种官方语言平等使用．某大学面向在校留学生举办中文知识竞赛，每位留学生随机抽取问题并依次作答，其中每个问题的回答相互独立．若答对一题记2分，答错一题记1分，已知甲留学生答对每个问题的概率为 $\text{[math]}$ ，答错的概率为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）甲留学生随机抽取 $\text{[math]}$ 题，记总得分为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列与数学期望；
2. （2）（ⅰ）若甲留学生随机抽取 $\text{[math]}$ 道题，记总得分恰为 $\text{[math]}$ 分的概率为 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和；
  （ⅱ）记甲留学生已答过的题累计得分恰为 $\text{[math]}$ 分的概率为 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式．
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17. (2024高三上·山海关模拟) 已知函数 $\text{[math]}$
1. （1）若曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程为 $\text{[math]}$ ，求a和b的值；
2. （2）讨论 $\text{[math]}$ 的单调性.
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18. (2024高三上·山海关模拟) 某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值： $\text{[math]}$ .根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ，并把质量指标值不小于80的产品称为 $\text{[math]}$ 等品，其它产品称为 $\text{[math]}$ 等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.
1. （1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差 $\text{[math]}$ 的近似值为11，用样本平均数 $\text{[math]}$ 作为 $\text{[math]}$ 的近似值，用样本标准差 $\text{[math]}$ 作为 $\text{[math]}$ 的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为 $\text{[math]}$ 等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；
  (①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ . )
2. （2）（i）从样本的质量指标值在 $\text{[math]}$ 和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望；
  （ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件 $\text{[math]}$ 等品芯片的利润是 $\text{[math]}$ 元，一件 $\text{[math]}$ 等品芯片的利润是 $\text{[math]}$ 元，根据(1)的计算结果，试求 $\text{[math]}$ 的值，使得每箱产品的利润最大.
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19. (2024高三上·山海关模拟) 对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为 $\text{[math]}$ ；若n为奇数，则对 $\text{[math]}$ 不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，则称正整数n为“理想数”.
1. （1）求20以内的质数“理想数”；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ .求m的值；
3. （3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .
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