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高中数学
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解答题
1.
(2019·全国Ⅰ卷理)
为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验。试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验。对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药。一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验。当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效。为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得-1分:若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得-1分:若都治愈或都未治愈则两种药均得0分。甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X。
(1) 求X的分布列;
(2) 若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,p
i
(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效“的概率,则P
0
=0,P
8
=1,p
i
=ap
i-1
+bp
i
+cp
i+1
(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1)。假设α=0.5,β=0.8。
(i)证明:
(i=0,1,2,…,7)为等比数列;
(ii)求P
4
, 并根据P
4
的值解释这种试验方案的合理性。
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