2019年高考理数真题试卷（全国Ⅰ卷）

更新时间：2024-07-31 浏览次数：2263 类型：高考真卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. (2019·全国Ⅰ卷理) 已知集合M= $\text{[math]}$ ，N= $\text{[math]}$ ，则M $\text{[math]}$ N=（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高一下·江西期末) 设复数z满足 $\text{[math]}$ ，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2020高一上·三明期末) 已知a=log₂0.2，b= $\text{[math]}$ ，c= $\text{[math]}$ ，则（）

A . a<b<c B . a<c<b C . c<a<b D . b<c<a

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4. (2019·全国Ⅰ卷文) 古希腊吋期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 $\text{[math]}$ ，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯“便是如此。此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度也是 $\text{[math]}$ 。若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）

A . 165cm B . 175cm C . 185cm D . 190cm

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5. (2023高一上·厦门期末) 函数f(x)= $\text{[math]}$ 在[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]。的图像大致为（）

A . B . C . D .

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6. (2019·全国Ⅰ卷理) 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“--"，下图就是一重卦。在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2021高一下·江门月考) 已知非零向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足| $\text{[math]}$ |=2| $\text{[math]}$ |，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2019·全国Ⅰ卷文) 下图是求 $\text{[math]}$ 的程序框图，图中空白框中应填入（）

A . A= $\text{[math]}$ B . A=2+ $\text{[math]}$ C . A= $\text{[math]}$ D . A=1+ $\text{[math]}$

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9. (2019·全国Ⅰ卷理) 记S_n为等差数列 $\text{[math]}$ 的前n项和。已知 $\text{[math]}$ =0， $\text{[math]}$ =5，则（）

A . a_n=2n-5 B . a_n=3n-10 C . S_n=2n²-8n D . S_n= $\text{[math]}$ n²-2n

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10. (2019·全国Ⅰ卷文) 已知椭圆C的焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0）。过F₂的直线与C交于A，B两点。若|AF₂|=2|F₂B|，|AB|=|BF₁|，则C的方程为（）

A . $\text{[math]}$ +y²=1 B . $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1 C . $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1 D . $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1

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11. (2019·全国Ⅰ卷理) 关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数      ②f(x)在区间 $\text{[math]}$ 单调递增

③f(x)在[-π，π]有4个零点          ④f(x)的最大值为2

其中所有正确结论的编号是（   ）

A . ①②④ B . ②④ C . ①④ D . ①③

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12. (2019·全国Ⅰ卷理) 已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，∆ABC是边长为2的正三角形，E、F，分别是PA，AB的中点， $\text{[math]}$ CEF=90°，则球O的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. (2020高二下·潜山开学考) 曲线y=3(x²+x)e^x在点(0，0)处的切线方程为.

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14. (2019·全国Ⅰ卷理) 记S_n为等比数列{a_n}的前n项和。若a₁= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ _，则S₅=

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15. (2019·全国Ⅰ卷理) 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)。根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是

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16. (2019·全国Ⅰ卷理) 已知双曲线C： $\text{[math]}$ （a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁_，F₂_，过F₁的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点。若 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ · $\text{[math]}$ =0，则C的离心率为。

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三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17. (2019·全国Ⅰ卷理) ∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinB-sinC)²=sin²A-sinBsinC。
1. （1）求A；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ,求sinC.
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18. (2019·全国Ⅰ卷理) 如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，AA₁=4，AB=2， $\text{[math]}$ BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB₁ ， A₁D的中点
1. （1）证明：MN∥平面C₁DE；
2. （2）求二面角A-MA₁-N的正弦值。
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19. (2019·全国Ⅰ卷理) 已知抛物线C：y²=3x的焦点为F，斜率为 $\text{[math]}$ 的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P。
1. （1）若|AF|+|BF|=4,求l的方程：
2. （2）若 $\text{[math]}$ ,求|AB|。
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20. (2019·全国Ⅰ卷理) 已知函数f(x)=sinx-ln(1+x)，f’(x)为f(x)的导数。证明：
1. （1） f’(x)在区间(-1， $\text{[math]}$ )存在唯一极大值点；
2. （2） f(x)有且仅有2个零点。
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21. (2019·全国Ⅰ卷理) 为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验。试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验。对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药。一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验。当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效。为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分：若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分：若都治愈或都未治愈则两种药均得0分。甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X。
1. （1）求X的分布列；
2. （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p_i(i=0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效“的概率，则P₀=0，P₈=1，p_i=ap_i-1+bp_i+cp_i+1(i=1，2，…，7)，其中a=P(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1)。假设α=0.5，β=0.8。
  (i)证明： $\text{[math]}$ （i=0，1，2，…，7）为等比数列；
  
  (ii)求P₄ ，并根据P₄的值解释这种试验方案的合理性。
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四、选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22. (2023·千阳模拟) 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 $\text{[math]}$ （t为参数）。以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ $\text{[math]}$ ρsinθ+11=0。
1. （1）求C和l的直角坐标方程；
2. （2）求C上的点到l距离的最小值。
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23. (2023·千阳模拟) 已知a，b，c为正数，且满足abc=1。证明：
1. （1） $\text{[math]}$ ；
2. （2） (a+b)³+(b+c)³+(c+a)³≥24。
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试卷信息

小学

初中

高中

2019年高考理数真题试卷（全国Ⅰ卷）

副标题：

*注意事项：

2019年高考理数真题试卷（全国Ⅰ卷）

试题分析

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