1. (2022·襄阳) 矩形ABCD中，＝（k＞1），点E是边BC的中点，连接AE，过点E作AE的垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点F．

1. （1） 【特例证明】如图（1），当k＝2时，求证：AE＝EF；

   小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整．

   证明：如图，在BA上截取BH＝BE，连接EH． ∵k＝2， ∴AB＝BC． ∵∠B＝90°，BH＝BE， ∴∠1＝∠2＝45°， ∴∠AHE＝180°-∠1＝135°． ∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°， ∴∠3＝∠DCG＝45°． ∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°． ∴…… （只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程）

3. （2） 【类比探究】如图（2），当k≠2时，求的值（用含k的式子表示）；
5. （3） 【拓展运用】如图（3），当k＝3时，P为边CD上一点，连接AP，PF，∠PAE＝45°， ， 求BC的长．