2023年中考数学探究性试题复习19 相似-在线组卷

1. (2023·东洲模拟) 已知点O是四边形ABCD内一点，AB=BC，OD=OC，∠ABC=∠DOC=α．

（1）如图1，α=60°，探究线段AD与OB的数量关系，并加以证明；
（2）如图2，α=120°，探究线段AD与OB的数量关系，并说明理由；
（3）结合上面的活动经验探究，请直接写出如图3中线段AD与OB的数量关系为（直接写出答案）

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2. (2023·莱西模拟)

（1）【问题呈现】
如图1， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等边三角形，连接 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．
（2）【类比探究】
如图2， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ．连接 $\text{[math]}$ ．请直接写出 $\text{[math]}$ 的值．
（3）【拓展提升】
如图3， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是直角三角形， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．连接 $\text{[math]}$ ．延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F，交 $\text{[math]}$ 于点G．求 $\text{[math]}$ 的值．

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3. (2023·济南模拟) 某校数学兴趣学习小组在一次活动中，对一些特殊几何图形具有的性质进行了如下探究：

（1）发现问题：如图1，在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上任意一点，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为腰作等腰 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．
（2）类比探究：如图2，在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上任意一点，以 $\text{[math]}$ 为腰作等腰 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．在点 $\text{[math]}$ 运动过程中， $\text{[math]}$ 是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．
（3）拓展应用：如图3，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一点，以 $\text{[math]}$ 为边作正方形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是正方形 $\text{[math]}$ 的中心，连接 $\text{[math]}$ ．若正方形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．

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4. (2023·彭州模拟)

（1）【探究发现】如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中，E为 $\text{[math]}$ 边上一点，将 $\text{[math]}$ 沿BE翻折得到 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 边于点G.求证： $\text{[math]}$ ；
（2）【类比迁移】如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中，E为 $\text{[math]}$ 边上一点，且 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折得到 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 边于点G，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 边于点H，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；
（3）【实践创新】如图， $\text{[math]}$ 为等腰三角形， $\text{[math]}$ ， O为斜边 $\text{[math]}$ 的中点， M，N为线段 $\text{[math]}$ 上的动点，且满足 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .

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5. (2023·邗江模拟)

（1）【操作发现】
如图1，点M是 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ 边的中点．
请你用圆规和无刻度的直尺过点M作 $\text{[math]}$ 的平行线 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点N；
（2）在（1）的条件下，线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是；
（3）【类比探究】
如图2，线段 $\text{[math]}$ 与射线 $\text{[math]}$ 有公共端点A，请你用圆规和无刻度的直尺在线段 $\text{[math]}$ 上作一个点N，使 $\text{[math]}$ ．

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6. (2023·江西模拟) 【课本再现】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．我们知道：如图1，如果 $\text{[math]}$ ，那么称点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的黄金分割点．

（1）【问题发现】如图1，请直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的比值是；
（2）【尺规作黄金分割点】如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 上截取 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 上截取 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为；
（3）【问题解决】如图3，用边长为4的正方形纸片进行如下操作：对折正方形 $\text{[math]}$ 得折痕 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 对应点 $\text{[math]}$ ，得折痕 $\text{[math]}$ ，试说明： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的黄金分割点；
（4）【拓展延伸】如图4，正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为对角线 $\text{[math]}$ 上一点，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的黄金分割点时， $\text{[math]}$ ，连 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，请用相似的知识求出 $\text{[math]}$ 的值为．

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7. (2023·昔阳模拟) 综合与实践：

问题情境：如图1，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点E是对角线 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，过点E分别作 $\text{[math]}$ 的垂线，分别交直线 $\text{[math]}$ 于点F，G．试猜想线段 $\text{[math]}$ 的数量关系并加以证明．

（1）数学思考：
请解答上述问题；
（2）问题解决：
如图2，在图1的条件下，将“正方形 $\text{[math]}$ ”改为“矩形 $\text{[math]}$ ”，其他条件不变．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
（3）问题拓展：
在（2）的条件下，当点E为 $\text{[math]}$ 的中点时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的面积．

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8. (2023·江西模拟)

（1）课本再现
如图1，在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
求证： $\text{[math]}$ ．我们在数学课上探索这一结论时进行了分析：要证 $\text{[math]}$ ，可设法证 $\text{[math]}$ ，若设 $\text{[math]}$ ，则只需证 $\text{[math]}$ ．
请你根据以上分析，完成证明．
（2）知识应用
如图2，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．

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9. (2023九下·柯桥月考) B，C是⊙O上的两个定点，A是圆上的动点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）如图1，如果 $\text{[math]}$ 是等边三角形，求证 $\text{[math]}$ 是⊙O的切线；
（2）如图2，如果 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交⊙O于E，F，研究五边形 $\text{[math]}$ 的性质；
①探索 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系，并证明你的结论；

②如图3，若⊙O的半径为6， $\text{[math]}$ ，求边 $\text{[math]}$ 的长；

③若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的数量关系.

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10. (2023·太谷模拟) 综合与探究

问题情境：

数学活动课上，老师给出如下基础模型：如图①，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点C任作一条直线l（不与 $\text{[math]}$ 重合），过点A作 $\text{[math]}$ 于点D，过点B作 $\text{[math]}$ 于点E，当点A、B在直线l同侧时，易证 $\text{[math]}$ （下列解题可直接用此结论）．

（1）如图②，当点A、B在直线l异侧时，求证： $\text{[math]}$ ．
（2）模型应用：在平面直角坐标系中，已知直线l： $\text{[math]}$ （k为常数， $\text{[math]}$ ）与x轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，以AB为边、B为直角顶点作直角三角形 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ．若直线l经过点 $\text{[math]}$ ，当点C在第三象限时，点C的坐标为．
（3）若点D是函数 $\text{[math]}$ 图象上的点，且 $\text{[math]}$ 轴，当点C在第四象限时，连接 $\text{[math]}$ 交y轴于点E，求点C、D的坐标（用含k的式子表示）及 $\text{[math]}$ 的长．

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11. (2023·鄱阳模拟) 课本再现

如图1，在等边 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ．

（1） $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 构成的锐角夹角 $\text{[math]}$ 的度数是．
（2）深入探究：将图1中的 $\text{[math]}$ 延长至点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如图2所示．求证： $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ．（第一问的结论，本问可直接使用）
（3）迁移应用：如图3，在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的点， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

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12. (2022九上·南宁月考) 矩形ABCD中， $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ （k＞1），点E是边BC的中点，连接AE，过点E作AE的垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点F．

（1）【特例证明】如图（1），当k＝2时，求证：AE＝EF；

小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整．

证明：如图，在BA上截取BH＝BE，连接EH．

∵k＝2，

∴AB＝BC．

∵∠B＝90°，BH＝BE，

∴∠1＝∠2＝45°，

∴∠AHE＝180°-∠1＝135°．

∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，

∴∠3＝ $\text{[math]}$ ∠DCG＝45°．

∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°．

∴……

（只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程）

（2）【类比探究】如图（2），当k≠2时，求 $\text{[math]}$ 的值（用含k的式子表示）；
（3）【拓展运用】如图（3），当k＝3时，P为边CD上一点，连接AP，PF，∠PAE＝45°， $\text{[math]}$ ，求BC的长．

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13. (2022·威海) 回顾：用数学的思维思考

（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC．
①BD，CE是△ABC的角平分线．求证：BD＝CE．
②点D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
（从①②两题中选择一题加以证明）
（2）猜想：用数学的眼光观察
经过做题反思，小明同学认为：在△ABC中，AB＝AC，D为边AC上一动点（不与点A，C重合）．对于点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E，使得BD＝CE．进而提出问题：若点D，E分别运动到边AC，AB的延长线上，BD与CE还相等吗？请解决下面的问题：
如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使得BD＝CE，并证明．
（3）探究：用数学的语言表达
如图3，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E为边AB上任意一点（不与点A，B重合），F为边AC延长线上一点．判断BF与CE能否相等．若能，求CF的取值范围；若不能，说明理由．

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14. (2022·武汉) 如图

问题提出：如图（1）， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，延长 $\text{[math]}$ 至点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，探究 $\text{[math]}$ 的值.

（1）问题探究：
先将问题特殊化.如图（2），当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值；
（2）再探究一般情形.如图（1），证明（1）中的结论仍然成立.
（3）问题拓展：
如图（3），在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 至点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .直接写出 $\text{[math]}$ 的值（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）.

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15. (2021九上·普陀期末) 如图

（1）（问题发现）
如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B、C重合）将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连结EC，则线段BD与CE的数量关系是，位置关系是；
（2）（探究证明）
如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，BD与CE具有怎样的位置关系，并说明理由；
（3）（拓展延伸）
如图3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，将△ACD绕顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角∠CAE为α（0°＜α＜360°），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段BE的长度．

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