2023年中考数学探究性试题复习15 四边形-在线组卷

1. (2023八下·镇海期中) 定义：有一组对角是直角的四边形叫做“准矩形”；有两组邻边 $\text{[math]}$ 不重复 $\text{[math]}$ 相等的四边形叫做“准菱形”．

如图①，在四边形 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 是“准矩形”；

如图②，在四边形 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 是“准菱形”．

（1）如图，在边长为 $\text{[math]}$ 的正方形网格中， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在格点 $\text{[math]}$ 小正方形的顶点 $\text{[math]}$ 上，请分别在图③、图④中画出“准矩形” $\text{[math]}$ 和“准菱形” $\text{[math]}$ 要求： $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在格点上 $\text{[math]}$ ；
（2）下列说法正确的有； $\text{[math]}$ 填写所有正确结论的序号 $\text{[math]}$
①一组对边平行的“准矩形”是矩形；

②一组对边相等的“准矩形”是矩形；

③一组对边相等的“准菱形”是菱形；

④一组对边平行的“准菱形”是菱形．
（3）如图⑤，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为一边向外作“准菱形” $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．
①若 $\text{[math]}$ ，求证：“准菱形” $\text{[math]}$ 是菱形；

②在①的条件下，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积．

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2. (2023八下·定州期中) 如图：

（1）【发现证明】
如图1，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边上的动点，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．小明发现，当把 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转90°至 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合时能够证明，请你给出证明过程．
（2）【类比引申】
①如图2，在正方形 $\text{[math]}$ 中，如果点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 延长线上的动点，且 $\text{[math]}$ ，则（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系（不要求证明）
②如图3，如果点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 延长线上的动点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系是（不要求证明）
（3）【联想拓展】如图1，若正方形 $\text{[math]}$ 的边长为6， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

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3. (2023·台儿庄模拟) 综合与实践

问题情境：

如图①，点E为正方形 $\text{[math]}$ 内一点， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点B按顺时针方向旋转 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ （点A的对应点为点C）．延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F，连接 $\text{[math]}$ ．

（1）猜想证明：
试判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由；
（2）如图②，若 $\text{[math]}$ ，请猜想线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系并加以证明；
（3）解决问题：
如图①，若 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长．

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4. (2023·德城模拟)

（1）【实验】如图①，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，四边形 $\text{[math]}$ 的形状为；
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形
其理论依据是．
（2）【探究】如图②，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 中点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线交边 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，试猜想 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三条线段之间的数量关系，并给予证明．
（3）【应用】如图③，在 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．

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5. (2023·长春模拟) 如图

（1）【感知】如图①，将 $\text{[math]}$ 沿过点D的直线折叠，使点A落在 $\text{[math]}$ 边上的点F处，得到折痕 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 的周长为．
（2）【探究】如图②，将四边形 $\text{[math]}$ 沿GE折叠，点A、D的对应点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 恰好落在 $\text{[math]}$ 边上．
求证：四边形 $\text{[math]}$ 为菱形．
（3）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积为．

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6. (2023·龙岗模拟) 综合与探究

在矩形 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 边上取一点 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，使点 $\text{[math]}$ 恰好落在 $\text{[math]}$ 边上的点 $\text{[math]}$ 处．

（1）如图①，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；
（2）如图②，当 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长；
（3）如图③，延长 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 的角平分线交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

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7. (2023·无为模拟) 通过以前的学习，我们知道：“如图1，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ”．某数学兴趣小组在完成了以上学习后，决定对该问题进一步探究：

（1）【问题探究】如图2，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，试猜想 $\text{[math]}$ ；
（2）【知识迁移】如图3，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，试猜想 $\text{[math]}$ 的值，并证明你的猜想；
（3）【拓展应用】如图4，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

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8. (2023·济南模拟) 某校数学兴趣学习小组在一次活动中，对一些特殊几何图形具有的性质进行了如下探究：

（1）发现问题：如图1，在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上任意一点，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为腰作等腰 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．
（2）类比探究：如图2，在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上任意一点，以 $\text{[math]}$ 为腰作等腰 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．在点 $\text{[math]}$ 运动过程中， $\text{[math]}$ 是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．
（3）拓展应用：如图3，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一点，以 $\text{[math]}$ 为边作正方形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是正方形 $\text{[math]}$ 的中心，连接 $\text{[math]}$ ．若正方形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．

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9. (2023九下·东台月考) 如图

（1）【问题情境】如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG、BE，则DG与BE的数量关系是；
（2）如图2，四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE=1：2，连接DG、BE.判断线段DG与BE有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）【拓展提升】如图3，在（2）的条件下，连接BG，则2BG+BE的最小值为.

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10. (2023·淮阴模拟) 【背景】

如图1，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，折叠矩形 $\text{[math]}$ 使点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 处，折痕为 $\text{[math]}$ .

（1）【操作】用直尺和圆规在图1中的 $\text{[math]}$ 边上作出点 $\text{[math]}$ （不写作法，保留作图痕迹）；
（2）【应用】求 $\text{[math]}$ 的度数和 $\text{[math]}$ 的长；
（3）如图2，若点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上的一个动点.连接 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 左侧作等边三角形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是；
（4）【拓展】如图3，若点 $\text{[math]}$ 是射线 $\text{[math]}$ 上的一个动点.将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，得 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .当 $\text{[math]}$ 是直角三角形时， $\text{[math]}$ 的长为多少？请直接写出答案：.

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11. (2023·惠水模拟) 如图，平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的一点，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为对称轴作 $\text{[math]}$ 的轴对称图形 $\text{[math]}$ .

（1）动手操作
当点 $\text{[math]}$ 正好落在 $\text{[math]}$ 边上时，在图①中画出 $\text{[math]}$ 的轴对称图形 $\text{[math]}$ ，并判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状是 ▲ ；
（2）问题解决
如图②，当点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 中点，且 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长；
（3）拓展探究
如图③，当点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在同一直线上，且 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长.

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12. (2023·遵义模拟)

（1）【问题探究】如图1，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点E、F分别在边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .
（2）【知识迁移】如图2，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E在边 $\text{[math]}$ 上，点M、N分别在边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
（3）【拓展应用】如图3，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ 上，点M、N分别在边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的度数之间满足什么数量关系时，有 $\text{[math]}$ ？试写出其数量关系，并说明理由.

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13. (2023·博山模拟) 在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究.如图（1），在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为锐角， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，连接 $\text{[math]}$ ，将菱形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，得到四边形 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的对应点为点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的对应点为点 $\text{[math]}$ .

（1）【观察发现】 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系是；
（2）【思考表达】连接 $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是否相等，并说明理由；
（3）如图（2），延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，请探究 $\text{[math]}$ 的度数，并说明理由；
（4）【综合运用】如图（3），当 $\text{[math]}$ 时，连接 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，请写出 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由.

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14. (2022九上·南宁月考) 矩形ABCD中， $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ （k＞1），点E是边BC的中点，连接AE，过点E作AE的垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点F．

（1）【特例证明】如图（1），当k＝2时，求证：AE＝EF；

小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整．

证明：如图，在BA上截取BH＝BE，连接EH．

∵k＝2，

∴AB＝BC．

∵∠B＝90°，BH＝BE，

∴∠1＝∠2＝45°，

∴∠AHE＝180°-∠1＝135°．

∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，

∴∠3＝ $\text{[math]}$ ∠DCG＝45°．

∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°．

∴……

（只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程）

（2）【类比探究】如图（2），当k≠2时，求 $\text{[math]}$ 的值（用含k的式子表示）；
（3）【拓展运用】如图（3），当k＝3时，P为边CD上一点，连接AP，PF，∠PAE＝45°， $\text{[math]}$ ，求BC的长．

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15. (2022·盐城) 【经典回顾】

梅文鼎是我国清初著名的数学家，他在《勾股举隅》中给出多种证明勾股定理的方法图1是其中一种方法的示意图及部分辅助线．

在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别是以 $\text{[math]}$ 的三边为一边的正方形．延长 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

（1）证明： $\text{[math]}$ ；
（2）证明：正方形 $\text{[math]}$ 的面积等于四边形 $\text{[math]}$ 的面积；
（3）请利用（2）中的结论证明勾股定理．
（4）【迁移拓展】
如图2，四边形 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别是以 $\text{[math]}$ 的两边为一边的平行四边形，探索在 $\text{[math]}$ 下方是否存在平行四边形 $\text{[math]}$ ，使得该平行四边形的面积等于平行四边形 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的面积之和．若存在，作出满足条件的平行四边形 $\text{[math]}$ （保留适当的作图痕迹）；若不存在，请说明理由．

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16. (2023·前郭模拟) 综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点， $\text{[math]}$ ，EP与正方形的外角 $\text{[math]}$ 的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；

（1）【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．
（2）【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合）， $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，连接CP，可以求出 $\text{[math]}$ 的大小，请你思考并解答这个问题．
（3）【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合）， $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出 $\text{[math]}$ 周长的最小值．当 $\text{[math]}$ 时，请你求出 $\text{[math]}$ 周长的最小值．