2015年高考理数真题试卷（新课标Ⅰ卷）

更新时间：2016-08-16 浏览次数：1143 类型：高考真卷

一、单选题

1. 设复数z满足 $\text{[math]}$ ，则|z|=( )

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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2. sin20⁰cos10⁰-cos160⁰sin10⁰=（ )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 设命题设命题 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 为( )

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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4. (2022高二下·金台期末) 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )

A . 0.648 B . 0.432 C . 0.36 D . 0.312

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5. 已知M（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）是双曲线C： $\text{[math]}$ 上的一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是C上的两个焦点，若 $\text{[math]}$ ＜0，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是( )

A . （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ） B . （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ） C . （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ） D . （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

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6.
《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问：积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（）

A . 14斛 B . 22斛 C . 36斛 D . 66斛

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7. 设D为 $\text{[math]}$ 所在平面内一点 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8.
函数f(x)=cos( $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ )的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为（）

A . (k $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ， k $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ )， k $\text{[math]}$ Z B . (2k $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ， 2k $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ )，k $\text{[math]}$ Z C . (k- $\text{[math]}$ ， k+ $\text{[math]}$ )， k $\text{[math]}$ Z D . (2k- $\text{[math]}$ ， 2k+ $\text{[math]}$ )，k $\text{[math]}$ Z

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9.
1. （x²+x+y)⁵的展开式中，x⁵y²的系数为( )
A . 10 B . 20 C . 30 D . 60
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10. 设D为△ABC所在平面内一点 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11.
圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20 $\text{[math]}$ ，则r=( )

A . 1 B . 2 C . 4 D . 8

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12. 设函数f(x)=e^x(2x-1)-ax+a，其中a<1，若存在唯一的整数x₀ ，使得f(x₀)<0，则a的取值范围是（）

A . [- $\text{[math]}$ ， 1) B . [- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ) C . [ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ) D . [ $\text{[math]}$ ， 1)

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二、填空题

13. (2024高三上·罗湖月考) 若函数f(x)=xln(x+ $\text{[math]}$ )为偶函数，则a= 。

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14. 一个圆经过椭圆 $\text{[math]}$ 的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 .

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15. 若x， y满足约束条件 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为 .

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16. 在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是 .

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三、解答题

17. S_n为数列{a_n}的前n项和.已知a_n＞0，a_n²+2a_n=4S_n+3,
1. （1）求{a_n}的通项公式；
2. （2）设b_n= $\text{[math]}$ ,求数列{b_n}的前n项和.
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18.
如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E ， F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD ， DF⊥平面ABCD ， BE=2DF ， AE⊥EC.
1. （1）证明：平面AEC⊥平面AFC
2. （2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值
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19.
某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费x_i和年销售量y_i=1；2…8数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
46.6
56.3
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中w_i= $\text{[math]}$ ， = $\text{[math]}$
1. （1）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d $\text{[math]}$ ，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
2. （2）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
3. （3）已知这种产品的年利润z与x ， y的关系为z=0.2y-x，根据（II）的结果回答下列问题：
  （i）当年宣传费x=90时，年销售量及年利润的预报值时多少？
  （ii）当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
  附：对于一组数据(u₁ ， v₁)，(u₂ ， v₂)，……，(u_n ， v_n)，其回归线v= $\text{[math]}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： $\text{[math]}$
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20. 在直角坐标系xOy中，曲线C：y= $\text{[math]}$ 与直线y=kx+a(a＞0)交与M ， N两点，
1. （1）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
2. （2） y轴上是否存在点P ，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.
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21. 已知函数f（x）=x³+ax+ $\text{[math]}$ ， g(x)=-lnx.
1. （1）当a为何值时，x轴为曲线y=f(x)的切线；
2. （2）用min{m，n} 表示m，n中的最小值，设函数h(x)=min{f(x)，g(x)}(x>0)，讨论h（x）零点的个数.
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22. 如图AB是⊙O直径，AC是⊙O切线，BC交⊙O与点E.
1. （1）若D为AC中点，求证：DE是⊙O切线；
2. （2）若OA= $\text{[math]}$ CE，求∠ACB的大小.
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23. 在直角坐标系xOy中，直线C₁: x=-2，圆C₂:(x-1)²+(y+2)²=1，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
1. （1）求C_1, C₂的极坐标方程.
2. （2）若直线C₃的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ，设C_2,C₃的交点为M,N，求△C₂MN的面积.
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24. 已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|， a>0.
1. （1）当a=1时求不等式f(x)>1的解集；
2. （2）若f(x)图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.
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