2016年高考理数真题试卷（山东卷）

更新时间：2021-05-20 浏览次数：831 类型：高考真卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.

1. (2016·山东理) 若复数z满足2z+ $\text{[math]}$ =3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（　　）

A . 1+2i B . 1﹣2i C . ﹣1+2i D . ﹣1﹣2i

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2. (2016·山东理) 设集合A={y|y=2^x ， x∈R}，B={x|x²﹣1＜0}，则A∪B=（　　）

A . （﹣1，1） B . （0，1） C . （﹣1，+∞） D . （0，+∞）

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3. (2016·山东文)
某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（　　）

A . 56 B . 60 C . 120 D . 140

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4. (2016·山东文) 若变量x，y满足 $\text{[math]}$ ，则x²+y²的最大值是（　　）

A . 4 B . 9 C . 10 D . 12

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5. (2016·山东文)
一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（　　）

A . $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ π B . $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ π C . $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ π D . 1+ $\text{[math]}$ π

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6. (2016·山东文) 已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（　　）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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7. (2016·山东理) 函数f（x）=（ $\text{[math]}$ sinx+cosx）（ $\text{[math]}$ cosx﹣sinx）的最小正周期是（　　）

A . $\text{[math]}$ B . π C . $\text{[math]}$ D . 2π

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8. (2016·山东理) 已知非零向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足4| $\text{[math]}$ |=3| $\text{[math]}$ |，cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞= $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ⊥（t $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ），则实数t的值为（　　）

A . 4 B . ﹣4 C . $\text{[math]}$ D . ﹣ $\text{[math]}$

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9. (2016·山东文) 已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x³﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞ $\text{[math]}$ 时，f（x+ $\text{[math]}$ ）=f（x﹣ $\text{[math]}$ ）．则f（6）=（　　）

A . ﹣2 B . ﹣1 C . 0 D . 2

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10. (2020高二下·内蒙古期中) 若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（　　）

A . y=sinx B . y=lnx C . y=e^x D . y=x³

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二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11. (2016·山东理)
执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为．

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12. (2016·山东理) 若（ax²+ $\text{[math]}$ ）⁵的展开式中x⁵的系数是﹣80，则实数a=．

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13. (2016·山东理) 已知双曲线E： $\text{[math]}$ =1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是．

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14. (2016·山东理) 在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）²+y²=9相交”发生的概率为．

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15. (2016·山东理) 已知函数f（x）= $\text{[math]}$ ，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是．

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三、解答题,：本大题共6小题，共75分.

16. (2016·山东理) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）= $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明：a+b=2c；
2. （2）求cosC的最小值．
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17. (2016·山东理)
在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．
1. （1）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；
2. （2）已知EF=FB= $\text{[math]}$ AC=2 $\text{[math]}$ AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．
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18. (2016·山东文) 已知数列{a_n}的前n项和S_n=3n²+8n，{b_n}是等差数列，且a_n=b_n+b_n+1 ．
1. （1）求数列{b_n}的通项公式；
2. （2）令c_n= $\text{[math]}$ ，求数列{c_n}的前n项和T_n ．
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19. (2024高二下·金华月考) 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是 $\text{[math]}$ ，乙每轮猜对的概率是 $\text{[math]}$ ；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
1. （1） “星队”至少猜对3个成语的概率；
2. （2） “星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．
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20. (2016·山东理) 已知f（x）=a（x﹣lnx）+ $\text{[math]}$ ，a∈R．
1. （1）讨论f（x）的单调性；
2. （2）当a=1时，证明f（x）＞f′（x）+ $\text{[math]}$ 对于任意的x∈[1，2]成立．
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21. (2016·山东理)
平面直角坐标系xOy中，椭圆C： $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）的离心率是 $\text{[math]}$ ，抛物线E：x²=2y的焦点F是C的一个顶点．
1. （1）求椭圆C的方程；
2. （2）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．
  ①求证：点M在定直线上；
  ②直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S₁ ， △PDM的面积为S₂ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值及取得最大值时点P的坐标．
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