广东省汕头市2021届高三数学二模试卷

更新时间：2021-07-08 浏览次数：200 类型：高考模拟

一、单选题

1. 设复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在复平面内的对应点关于虚轴对称， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . -10 B . 10 C . -8 D . 8

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2. 已知全集为实数集R ，集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ =（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 交通事故已成为世界性的严重社会问题，加强中小学生交通安全教育具有重要的现实意义.为此，某校举行了一场交通安全知识竞赛，一共有3道难度相当的必答题目，李明同学答对每道题目的概率都是0.6，则李明同学至少答对2道题的概率是（）

A . 0.36 B . 0.576 C . 0.648 D . 0.904

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4. 已知数列 $\text{[math]}$ 中各项为非负数， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若数列 $\text{[math]}$ 为等差数列，则 $\text{[math]}$ （）

A . 169 B . 144 C . 12 D . 13

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5. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的图象如图所示，则该函数的解析式可能为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派7名党员去甲、乙、丙三个村进行调研，其中有4名男性党员，3名女性党员现从中选3人去甲村若要求这3人中既有男性，又有女性，则不同的选法共有（）

A . 35种 B . 30种 C . 28种 D . 25种

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7. 已知椭圆C： $\text{[math]}$ 的左､右焦点分别是 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 的直线l与C交于A ， B两点，设O为坐标原点，若 $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 面积的最大值为（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段 $\text{[math]}$ ，记为第一次操作；再将剩下的两个区间 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于 $\text{[math]}$ ，则需要操作的次数n的最小值为（）参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

A . 6 B . 7 C . 8 D . 9

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二、多选题

9. 已知菱形 $\text{[math]}$ 边长为1， $\text{[math]}$ ，E是 $\text{[math]}$ 中点，F是 $\text{[math]}$ 中点，M是 $\text{[math]}$ 中点，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于N(如图所示)，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 2月10日19时52分，首次火星探测任务“天问一号”探测器在火星附近一点P变轨进入以火星星球球心F为一个焦点的椭圆轨道I(环火轨道)绕火星飞行，2021年2月24日6时29分，“天问一号”探测器成功实施第三次近火制动，在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ(火星停泊轨道)，且测得该轨道近火点m千米､远火点n千米，火星半径为r千米，若用 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别表示椭圆轨道I和Ⅱ焦距，用 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的长轴长，则下列关系中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 椭圆轨道Ⅱ的短轴长 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 正方体 $\text{[math]}$ ，的棱长为4，已知 $\text{[math]}$ 平面α ， $\text{[math]}$ ，则关于α､β截此正方体所得截面的判断正确的是（）

A . α截得的截面形状可能为正三角形 B . $\text{[math]}$ 与截面α所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ C . α截得的截面形状可能为正六边形 D . β截得的截面形状可能为正方形

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12. 已知抛物线方程为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为直线l上一动点，过点P作抛物线的两条切线，切点为A､B ，则以下选项正确的是（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时，直线 $\text{[math]}$ 方程为 $\text{[math]}$ B . 直线 $\text{[math]}$ 过定点 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 中点轨迹为抛物线 D . $\text{[math]}$ 的面积的最小值为 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. $\text{[math]}$ 展开式的常数项为.

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14. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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15. 在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，E为 $\text{[math]}$ 中点，将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 翻折成 $\text{[math]}$ ，当三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积最大时，三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球表面积为.

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16. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若方程 $\text{[math]}$ 有四个不等实根，则a的取值范围为.

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四、解答题

17. 随着人们生活水平的不断提高，人们对餐饮服务行业的要求也越来越高，由于工作繁忙无法抽出时间来享受美食，这样网上外卖订餐应运而生.现有美团外卖送餐员小李在A地接到两份外卖单，他须分别到B地､D地取餐，再将两份外卖一起送到C地，运餐过程不返回A地.A ， B ， C ， D各地的示意图如图所示， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，假设小李到达B､D两地时都可以马上取餐(取餐时间忽略不计)，送餐过程一路畅通.若小李送餐骑行的平均速度为每小时20千米，请你帮小李设计出所有送餐路径(如： $\text{[math]}$ )，并计算各种送餐路径的路程，然后选择一条最快送达的送餐路径，并计算出最短送餐时间为多少分钟.(各数值保留3位小数)(参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ )

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18. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ 是等差数列，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ .
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19. “十三五”期间脱贫攻坚的目标是，到2020年稳定实现农村贫困人口不愁吃､不愁穿，农村贫困人口义务教育､基本医疗､住房安全有保障；同时实现贫困地区农民人均可支配收入增长幅度高于全国平均水平､基本公共服务主要领域指标接近全国平均水平.脱贫攻坚已经到了啃硬骨头､攻坚拔寨的冲刺阶段，必须以更大的决心､更明确的思路､更精准的举措､超常规的力度，众志成城实现脱贫攻坚目标，决不能落下一个贫困地区､一个贫困群众.四川省某县贫困户有3400户，2012年开始进行了脱贫摘帽的规划，2013年至2019年脱贫户数逐年增加，如下表

年份	2013	2014	2015	2016	2017	2018	2019
年份代号t	1	2	3	4	5	6	7
脱贫的户数y	60	110	210	340	660	1010	1960

根据以上数据，绘制了散点图.

参考数据：

$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
621	2.54	25350	78.12	3.47

其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

（1）根据散点图判断，2013年至2019年期间， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ (c ， d均为大于零的常数)哪一个适宜作为脱贫户数y关于年份t的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)？
（2）根据（1）的判断结果及上表中数据，建立y关于t的回归方程，并计算该县2020年能脱贫攻坚成功吗？
参考公式：对于一组数据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…， $\text{[math]}$ ，其回归直线 $\text{[math]}$ 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

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20. 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 为正方形，四边形 $\text{[math]}$ 为菱形，且 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，点D为棱 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）棱 $\text{[math]}$ (除两端点外)上是否存在点M ，使得二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ ﹐若存在，请指出点M的位置；若不存在，请说明理由.
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21. 已知双曲线方程为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为双曲线的左､右焦点，离心率为2，点P为双曲线在第一象限上的一点，且满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求双曲线的标准方程；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 交双曲线于 $\text{[math]}$ 两点，则在 $\text{[math]}$ 轴上是否存在定点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为定值，若存在，请求出 $\text{[math]}$ 的值和该定值，若不存在，请说明理由.
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
1. （1）若函数 $\text{[math]}$ (其中： $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的导数)有两个极值点，求实数a的取值范围；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ .
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