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2021年高考数学真题分类汇编专题08：导数及应用

更新时间：2021-07-09 浏览次数：286 类型：二轮复习

一、单选题

1. 若过点（a,b)可以作曲线y=e^x的两条切线，则（）

A . e^b<a B . e^a<b C . 0<a<e^b D . 0<b<e^a

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二、填空题

2. (2021·全国甲卷) 曲线 $\text{[math]}$ 在点（-1，-3）处的切线方程为。

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3. (2021·新高考Ⅰ) 函数f(x) =|2x-l|-2lnx的最小值为

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4. 已知函数 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 的图象在点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则 $\text{[math]}$ 取值范围是．

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三、解答题

5. (2021·全国甲卷) 设函数 $\text{[math]}$ ，其中a>0．
1. （1）讨论f(x)的单调性；
2. （2）若y＝f(x)的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围．
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6. (2021·全国甲卷) 已知a＞0且a≠1，函数f（x）= $\text{[math]}$ （x＞0），
1. （1）当a=2时，求f（x）的单调区间；
2. （2）若曲线y= f（x）与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围.
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7. (2021·全国乙卷) 设函数f（x）=ln（a-x），已知x=0是函数y=xf（x）的极值点。
1. （1）求a；
2. （2）设函数g（x）= $\text{[math]}$ ，证明：g（x）＜1.
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8. (2021·全国乙卷) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）求曲线 $\text{[math]}$ 过坐标原点的切线与曲线 $\text{[math]}$ 的公共点的坐标.
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9. (2021·新高考Ⅰ) 已知函数f(x)=x（1-lnx)
1. （1）讨论f(x)的单调性
2. （2）设a，b为两个不相等的正数，且blna-alnb=a-b证明： $\text{[math]}$
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10. (2021·新高考Ⅱ卷) 一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数， $\text{[math]}$ ．
1. （1）已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程： $\text{[math]}$ 的一个最小正实根，求证：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；
3. （3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
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11. (2021·新高考Ⅱ卷) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）从下面两个条件中选一个，证明： $\text{[math]}$ 有一个零点
  ① $\text{[math]}$ ；
  
  ② $\text{[math]}$ ．
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12. (2021·北京) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处切线方程；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处取得极值，求 $\text{[math]}$ 的单调区间，以及最大值和最小值．
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13. (2021·浙江) 设a ， b为实数，且 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$
(注： $\text{[math]}$ 是自然对数的底数)
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；
2. （2）若对任意 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 有两个不同的零点，求a的取值范围；
3. （3）当 $\text{[math]}$ 时，证明：对任意 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 有两个不同的零点 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ .
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14. (2025·) 已知 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程：
2. （2）证明 $\text{[math]}$ 存在唯一的极值点
3. （3）若存在a ，使得 $\text{[math]}$ 对任意 $\text{[math]}$ 成立，求实数b的取值范围．
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