北京市海淀区2021届高三数学模拟试卷（一）

更新时间：2024-07-13 浏览次数：116 类型：高考模拟

一、单选题

1. (2021·海淀模拟) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则实数a的值可以为（）

A . 2 B . 1 C . 0 D . -2

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2. (2021·海淀模拟) 下列函数值中，在区间 $\text{[math]}$ 上不是单调函数的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2021·海淀模拟) 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 3

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4. (2021·海淀模拟) 不等式 $\text{[math]}$ 成立的一个充分不必要条件是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2021·海淀模拟) 如图，角 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 为始边，它的终边与单位圆 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2021·海淀模拟) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2021·海淀模拟) 在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . 2

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8. (2021·海淀模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ .若存在实数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 成立，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. (2021高二上·湖南月考) 一个盒中装有大小相同的2个黑球，2个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出，则在此过程中恰有两次取到黑球的概率为

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2021·海淀模拟) 设集合 $\text{[math]}$ 是集合 $\text{[math]}$ 的子集，对于 $\text{[math]}$ ，定义 $\text{[math]}$ ，给出下列三个结论：①存在 $\text{[math]}$ 的两个不同子集 $\text{[math]}$ ，使得任意 $\text{[math]}$ 都满足 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ；②任取 $\text{[math]}$ 的两个不同子集 $\text{[math]}$ ，对任意 $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；③任取 $\text{[math]}$ 的两个不同子集 $\text{[math]}$ ，对任意 $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；其中，所有正确结论的序号是（）

A . ①② B . ②③ C . ①③ D . ①②③

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二、填空题

11. (2021·海淀模拟) 已知向量 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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12. (2024高一上·北京市期中) 函数 $\text{[math]}$ 的零点个数是

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13. (2021·海淀模拟) 如图，网格纸上小正方形的边长为 $\text{[math]}$ .从 $\text{[math]}$ 四点中任取两个点作为向量 $\text{[math]}$ 的始点和终点，则 $\text{[math]}$ 的最大值为

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14. (2021·海淀模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 的通项公式为 $\text{[math]}$ ，若存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 对任意 $\text{[math]}$ 都成立，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为

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15. (2021·海淀模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是这两个函数图象的交点，且不共线.①当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 面积的最小值为；②若存在 $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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三、解答题

16. (2021·海淀模拟) 在① $\text{[math]}$ ，② $\text{[math]}$ ，③ $\text{[math]}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的 $\text{[math]}$ 存在，求 $\text{[math]}$ 的最小值；若 $\text{[math]}$ 不存在，说明理由.
设数列 $\text{[math]}$ 为等差数列， $\text{[math]}$ 是数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，且 ▲ ， $\text{[math]}$ .记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，是否存在实数 $\text{[math]}$ ，使得对任意的 $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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17. (2021高二下·娄星期中) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为菱形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的一点.
1. （1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.
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18. (2021·海淀模拟) 根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位 $\text{[math]}$ （单位：米）的频率分布直方图如下.将河流水位在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 各段内的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位变化互不影响.
1. （1）求未来4年中，至少有2年该河流水位 $\text{[math]}$ 的概率（结果用分数表示）.
2. （2）已知该河流对沿河 $\text{[math]}$ 工厂的影响如下：当 $\text{[math]}$ 时，不会造成影响；当 $\text{[math]}$ 时，损失50000元；当 $\text{[math]}$ 时，损失300000元.为减少损失， $\text{[math]}$ 工厂制定了三种应对方案.
  方案一：不采取措施；
  
  方案二：防御不超过30米的水位，需要工程费用8000元；
  
  方案三：防御34米的最高水位，需要工程费用20000元.
  
  试问哪种方案更好，请说明理由.
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19. (2021·海淀模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的中心在原点， $\text{[math]}$ 是它的一个焦点，直线 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，当直线 $\text{[math]}$ 轴时， $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）设椭圆的左顶点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的延长线分别交直线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，证明：以 $\text{[math]}$ 为直径的圆过定点。
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20. (2021·海淀模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）判断函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的单调性，并说明理由；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ .
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21. (2021·海淀模拟) 已知集合 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 中的元素个数 $\text{[math]}$ 大于等于5.若集合 $\text{[math]}$ 中存在四个不同的元素 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则称集合 $\text{[math]}$ 是“关联的”，并称集合 $\text{[math]}$ 是集合 $\text{[math]}$ 的“关联子集”；若集合 $\text{[math]}$ 不存在“关联子集”，则称集合 $\text{[math]}$ 是“独立的”.
1. （1）分别判断集合 $\text{[math]}$ 和集合 $\text{[math]}$ 是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有的关联子集；
2. （2）已知集合 $\text{[math]}$ 是“关联的”，且任取集合 $\text{[math]}$ ，总存在 $\text{[math]}$ 的关联子集 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 是等差数列；
3. （3）集合 $\text{[math]}$ 是“独立的”，求证：存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ .
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