四川省眉山市2020-2021学年高二下学期理数期末教学质量...

更新时间：2021-08-29 浏览次数：104 类型：期末考试

一、单选题

1. (2021高二下·眉山期末) 若i是虚数单位， $\text{[math]}$ ，则z的虚部为（）

A . 1 B . i C . -i D . -1

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2. (2021高二下·眉山期末) 用数学归纳法证明等式 $\text{[math]}$ 时，第一步验证 $\text{[math]}$ 时，左边的项是（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2021高二下·眉山期末) 某班有学生48人，现将所有学生按1，2，3，…，48随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，抽得编号为6，x，22，30，y，46，则x+y=…（）

A . 52 B . 50 C . 60 D . 54

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4. (2021高二下·眉山期末) 某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y（单位：kW·h）与气温x（单位：℃）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了如下对照表：

x（单位：℃）

17

14

10

-1

y（单位：kW·h

24

34

38

a

由表中数学得线性回归方程： $\text{[math]}$ =-2x+60，则a的值为（）

A . 40 B . 48 C . 58 D . 64

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5. (2021高二下·眉山期末) 若 $\text{[math]}$ 展开式中的第二项的二项式系数等于第五项的二项式系数，则展开式中 $\text{[math]}$ 的系数为（）

A . -40 B . -80 C . 80 D . 40

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6. (2021高二下·眉山期末) 我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争.小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”.如右图所示的程序框图反映了对此问题的一个求解算法，则输出n的值为（）

A . 20 B . 25 C . 30 D . 35

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7. (2021高二下·眉山期末) 若 $\text{[math]}$ ，给出以下结论：
① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；

③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ .

其中正确的结论有（）

A . ① B . ②③ C . ①④ D . ②④

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8. (2021高二下·眉山期末) 设函数 $\text{[math]}$ 在R上可导，其导函数为 $\text{[math]}$ ，且函数 $\text{[math]}$ 的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 有极大值 $\text{[math]}$ 和极小值 $\text{[math]}$ B . 函数 $\text{[math]}$ 有极大值 $\text{[math]}$ 和极小值 $\text{[math]}$ C . 函数 $\text{[math]}$ 有极大值 $\text{[math]}$ 和极小值 $\text{[math]}$ D . 函数 $\text{[math]}$ 有极大值 $\text{[math]}$ 和极小值 $\text{[math]}$

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9. (2021高二下·眉山期末) 张、王夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外两个小孩要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法种数是（）

A . 12 B . 24 C . 36 D . 48

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10. (2021高二下·眉山期末) 从 $\text{[math]}$ 中任取一个实数m，则直线 $\text{[math]}$ 被圆 $\text{[math]}$ 截得的弦长大于2的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. (2021高二下·眉山期末) 关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 有两个实数根，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. (2021高二下·眉山期末) 已知函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ，导函数为 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为自然对数的底数），且 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处取得极小值 C . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 取得极大值 D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. (2021高二下·眉山期末) 已知 $\text{[math]}$ 为虚数单位，若复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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14. (2022高三下·哈尔滨开学考) 伟大出自平凡，英雄来自人民．在疫情防控一线，北京某大学学生会自发从学生会6名男生和8名女生骨干成员中选出2人作为队长率领他们加入武汉社区服务队，用A表示事件“抽到的2名队长性别相同”， B表示事件“抽到的2名队长都是男生”，则 $\text{[math]}$

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15. (2021高二下·眉山期末) 为了引导广大师生积极学习党史，某市教育抽调四名机关工作人员去该市三所不同的学校开展党史宣讲服务，每个学校至少去一人，则不同的分配方法种数为．

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16. (2021高二下·眉山期末) 若 $\text{[math]}$ 为整数，且对 $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，则整数 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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三、解答题

17. (2021高二下·眉山期末) 设 $\text{[math]}$
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的单调区间及 $\text{[math]}$ 的极值；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最大值与最小值．
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18. (2021高二下·眉山期末) 国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅兵方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高（单位：cm）在区间 [ 165，175]内．现从全体受阅女兵中随机抽取200人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为[ 165，167 )，[ 167，169 )，[ 169，171 )，[ 171，173 )，[ 173，175 ]五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为75，最后三组的频率之和为0.7．
1. （1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数 $\text{[math]}$ 和方差 $\text{[math]}$ （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
2. （2）用频率估计概率，从全体受阅女兵中随机抽取3个，求身高位于区间 $\text{[math]}$ 内的人数不超过2个的概率；
3. （3）根据样本数据，可认为受阅女兵的身高 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）近似服从正态分布 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 近似为样本平均数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 近似为样本方差 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．
  参考数据：若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
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19. (2021高二下·眉山期末) 经销商小王对其所经营的某型号二手汽车的使用年数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）与每辆车的销售价格 $\text{[math]}$ （单位：万元）进行整理，得到如表的对应数据：

使用年数

2

4

6

8

10

售价

16

13

9.5

7

4.5
1. （1）试求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的回归直线方程；
2. （2）已知每辆该型号汽车的收购价格 $\text{[math]}$ （单位：万元）与使用年数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的函数关系为 $\text{[math]}$ ，根据（Ⅰ）中所求的回归方程，预测 $\text{[math]}$ 为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润 $\text{[math]}$ 最大．
  附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
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20. (2021高二下·眉山期末) 新疆地区的棉花是世界上最好的棉花之一，新疆长绒棉，世界顶级，做衣被，暖和、透气、舒适，长年供不应求．评价棉花质量的重要指标之一就是棉花的纤维长度，新疆农科所在土壤环境不同的A、B两块实验地分别种植某品种的棉花，为了评价该品种的棉花质量，在棉花成熟后，分别从A、B两地的棉花中各随机抽取40根棉花纤维进行统计，结果如下表：（记纤维长度不低于300 mm的为“长纤维”，其余为“短纤维”）．

纤维长度	( 0，100)	[ 100，200)	[ 200，300)	[ 300，400)	[ 400，500]
A地（根数）	4	9	2	17	8
B地（根数）	2	1	2	20	15

（1）由以上统计数据，填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”（K²的观测值精确到0.01）．

附： $\text{[math]}$

	A地	B地	总计
长纤维
短纤维
总计

临界值表：

P（K²≥k₀）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（2）现从抽取的80根棉花纤维中“短纤维”里任意抽取2根做进一步研究，记B地“短纤维”的根数为Y，求Y的分布列和数学期望；
（3）根据上述B地关于“长纤维”与“短纤维”的调查，将B地“长纤维”的频率视为概率，现从B地棉花（大量的棉花）中任意抽取3根棉花，记抽取的“长纤维”的根数为X，求X的数学期望和方差．

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21. (2021高二下·眉山期末) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）若直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 且与曲线 $\text{[math]}$ 相切，求直线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 对 $\text{[math]}$ 恒成立，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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22. (2021高二下·眉山期末) 已知函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为自然对数的底数）， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的导函数．
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，若存在不相等的实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ．
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