广东省深圳市第十三届中学生数理化综合实践活动高一数学学科知识...

更新时间：2024-07-13 浏览次数：246 类型：竞赛测试

一、选择题(本大题共8小题，每小题6分，共48分，每题只有1个选项是正确的)

1. (2021高一上·深圳竞赛) 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ≈0.618称为黄金分割比例)，已知一位女士身高154cm，穿上高跟鞋后肚脐至鞋底的长度约100cm，若她穿上高跟鞋后达到黄金比例身材，则她穿的高跟鞋约是（）(结果保留一位小数)．

A . 7.8cm B . 7.9cm C . 8.0cm D . 8.1cm

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2. (2021高一上·深圳竞赛) 新冠病毒是一种传染性极强的病毒，在不采取保护措施的情况下，每天的累计感染人数是前一天累计感染人数的1.2倍，某国在5月1日时确诊的累计新冠病毒感染总人数为200人，如果不采取任何措施，从多少天后该国总感染人数开始超过100 万？ (参考数据：1g 1.2=0.079 0，lg 5=0.699 0)（）．

A . 43 B . 45 C . 47 D . 49

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3. (2021高一上·深圳竞赛) 设函数f(x)= $\text{[math]}$ 若互不相等的实数x₁ ， x₂ ， x₃ ，满足f(x₁)=f(x₂)=f(x₃)，则x₁+x₂+x₃的取值范围是（）．

A . ( $\text{[math]}$ ，6] B . ( $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ) C . ( $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ] D . ( $\text{[math]}$ ，6)

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4. (2021高一上·深圳竞赛) Define $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =ad-bc，For example， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = 1×4- 2×3． If when x∈[0，2]， the inequality $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ≥k has a solution， then the range of k is （）．

A . k≥9 B . k≤-9 C . k≤- 5 D . k≥5

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5. (2021高一上·深圳竞赛) 天文学中为了衡量天体的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，星等的数值越小，天体就越亮；星等的数值越大，天体就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(M．R．Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念．天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m₁-m₂=2.5(lg E₂-lg E₁)，其中星等为m_i的星的亮度为E_i(i=1，2)．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25．“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则r的近似值为(当|x|较小时，10^x≈1+2.3x+2.7x²)（）．

A . 1.23 B . 1.26 C . 1.51 D . 1.57

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6. (2021高一上·深圳竞赛) 在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如下图所示，将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出(图中CD)有15 cm，跨接了6个坐位的宽度(AB)，每个座位宽度为43 cm，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是（）．

A . 250 cm B . 260 cm C . 295 cm D . 305 cm

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7. (2021高一上·深圳竞赛) 已知集合M={x∈N^*|1≤x≤15)，集合A₁ ， A₂ ， A₃满足：
①每个集合都恰有5个元素，

②A₁UA₂UA₃=M．

集合A_i中元素的最大值与最小值之和称为集合A_i的特征数，记为X_i(i=1，2，3)，则X₁+X₂+X₃的值不可能为（）．

A . 37 B . 39 C . 48 D . 57

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8. (2021高一上·深圳竞赛) 设a，b，c为实数，f(x)=(x+a)(x²+bx +c)，g(x)=(ax+1)(cx²+bx+1)．记集合S={x∈R|f(x)=0}，T≠{x∈R|g(x)=0}，若|S|，|T|分别为集合S，T的元素个数，则下列结论不可能的是（）．

A . |S|=1且|T|=0 B . |S|=1且|T|=1 C . |S|=2且|T|=2 D . |S|=2且|T|=3

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二、填空题(本大题共4小题，每题8分，共32分)

9. (2021高一上·深圳竞赛) 若a>1，设函数f(x)=a^x+x-4的零点为m，函数g(x)=log_ax+x-4的零点为n，则 $\text{[math]}$ 的最小值为

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10. (2021高一上·深圳竞赛) 已知函数y= $\text{[math]}$ 与函数y= $\text{[math]}$ 的图像共有个k (k∈N^*)公共点：A₁(x₁ ， y₁)，A₂(x₂ ， y₂)，……A_k(x_k ， y_k)，则 $\text{[math]}$ (x_i+y_i)=

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11. (2021高一上·深圳竞赛) 设函数f(x)=x²+bx+2(|b|≤5，c∈R)，记A={x|f(x)=x)，B={x\f(f(x))=x)．若集合A={x₁ ， x₂}，B={x₁ ， x₂ ， x₃ ， x₄}，且|x₁-x₂|+|x₃-x₄|≤ $\text{[math]}$ +1恒成立，则b=c的取值范围是

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12. (2021高一上·深圳竞赛) 如图展示了由区间(0，4)到实数集R的一个映射过程：区间(0，4)中的实数m对应数轴上的点M(如图甲)，将线段AB围成一个正方形，使两端点A，B
A(B)恰好重合(如图乙)，再将这个正方形放在平面直角坐标系中，使其中两个顶点在y轴上(如图丙)，点A的坐标为(0，4)，若图丙中直线AM与x轴交于点N(n，0)，则m的象就是n，记作f(m)=n．现给出以下命题：

①f(2)=0；

②f(x)的图象关于点(2，0)对称；

③f(x)在区间(3，4)上为常数函数；

③f(x)在区间(3，4)上为常数函数；

④f(x)为偶函数．

其中真命题的序号为．(写出所有真命题的序号)

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三、解答题(本大题共3小题，共70分)

13. (2021高一上·深圳竞赛) 新冠肺炎疫情造成医用防护服紧缺，当地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供x(x∈[0，10])(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服．A公司在收到政府x(万元)补贴后，防护服产量将增加到t=k·(6- $\text{[math]}$ )(万件)，其中k为工厂工人的复工率(k∈[0.5，1])，A公司生产t万件防护服还需投人成本(20+8x+50t)(万元)
1. （1）将A公司生产的防护服的利润y万元)表示为补贴x(万元)的函数；
2. （2）对任意的x∈[0，10](万元)，当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？ (精确
  到0.01)
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14. (2021高一上·深圳竞赛) 将连续正整数1，2，……，n (n∈N^*)从小到大排列构成一个数123……*n，F(n)为这个数的位数(如n=12时，此数为123456 789 101 112，共有15个数字，F(12)=15)，现从这个数中随机取一个数字，p(n)为恰好取到0的概率．
1. （1）求p(100)；
2. （2）令g(n)为这个数中数字0的个数，f(n)为这个数中数字9的个数，h(n)= f(n)-g(n)，S={n|h(n)=1，n≤100，n∈N^*}，求当n∈S时p(n)的最大值．
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15. (2021高一上·深圳竞赛) 给定有限个正数满足条件T ：每个数都不大于50且总和L=1275．现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于150且分组的步骤是：
首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差r₁与所有可

能的其他选择相比是最小的，r₁称为第一组余差；

然后，在去掉已选人第一组的数后，对余下的数按第组的选择方式构成第二组，这时的

余差为r₂；如此继续构成第三组(余差为r₃)、第四组(余差为r₄) ……，直至第N组(余差为r_N)把这些数全部分完为止．
1. （1）判断r₁ ， r₂ ， ……，r_N的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数；
2. （2）当构成第n(n<N)组后，指出余下的每个数与r_n的大小关系，并证明r_n-1> $\text{[math]}$
3. （3）对任何满足条件T的有限个正数，证明：N≤11．
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试卷信息

小学

初中

高中

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副标题：

*注意事项：

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