湖南省衡阳市2021-2022学年高二上学期数学12月质量监...

更新时间：2022-01-18 浏览次数：76 类型：月考试卷

一、单选题

1. (2021高二上·衡阳月考) 已知复数z满足 $\text{[math]}$ ，且z的共轭复数为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . 4 D . 3

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2. (2022高二上·通榆月考) 直线 $\text{[math]}$ 恒过定点（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2021高二上·衡阳月考) 抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点到准线的距离为（）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . 2 D . 3

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4. (2021高二上·衡阳月考) 已知向量 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . -2 D . 2

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5. (2021高二上·衡阳月考) 函数 $\text{[math]}$ 的图象大致为（）

A . B . C . D .

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6. (2021高二上·衡阳月考) 设双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若点P在双曲线上，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1或5 B . 1 C . 4 D . 5

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7. (2021高二上·衡阳月考) 直线 $\text{[math]}$ ，圆 $\text{[math]}$ ，若直线l交圆 $\text{[math]}$ 于A，B两点，则 $\text{[math]}$ （）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 1

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8. (2021高二上·衡阳月考) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 右顶点为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 是椭圆上的一动点， $\text{[math]}$ 为坐标原点，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . 0 B . 3 C . 8 D . 9

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二、多选题

9. (2021高二上·衡阳月考) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的焦距为4，则（）

A . 椭圆C的焦点在x轴上 B . $\text{[math]}$ C . 椭圆C的离心率为 $\text{[math]}$ D . 椭圆C的短轴长为 $\text{[math]}$

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10. (2021高二上·衡阳月考) 在正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点，则（）

A . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$

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11. (2021高二上·衡阳月考) 若曲线 $\text{[math]}$ 与动直线 $\text{[math]}$ 恰有一个公共点，则实数 $\text{[math]}$ 的取值可以是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. (2021高二上·衡阳月考) 一般地，我们把离心率为 $\text{[math]}$ 的椭圆称为“黄金椭圆”．把离心率为 $\text{[math]}$ 的双曲线称为“黄金双曲线”，则下列命题正确的有（）

A . 若 $\text{[math]}$ 是“黄金椭圆，则 $\text{[math]}$ B . 若焦距为4，且点A在以 $\text{[math]}$ 为焦点的“黄金椭圆”上，则 $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ 是黄金双曲线 $\text{[math]}$ 的左焦点，C是右顶点， $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 是黄金双曲线 $\text{[math]}$ 的弦，离心率为e，M是 $\text{[math]}$ 的中点，若 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的斜率均存在，则 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. (2021高二上·衡阳月考) 如图四棱锥 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 为菱形， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. (2021高二上·衡阳月考) 函数 $\text{[math]}$ 的定义域为．

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15. (2021高二上·衡阳月考) 等轴双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右顶点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为双曲线 $\text{[math]}$ 上一点，若直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 的斜率为．

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16. (2021高二上·衡阳月考) 已知点 $\text{[math]}$ 不在直线 $\text{[math]}$ 上，则点P到直线l的距离 $\text{[math]}$ ；类比有：当点 $\text{[math]}$ 在函数 $\text{[math]}$ 图象上时，距离公式变为 $\text{[math]}$ ，根据该公式可求 $\text{[math]}$ 的最小值是．

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四、解答题

17. (2021高二上·衡阳月考) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的单调递增区间；
2. （2）在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求 $\text{[math]}$ ．
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18. (2023高二下·浙江期中) 为了应对国家电网用电紧张的问题，了解我市居民用电情况，我市统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：kW·h），并将得到数据按如下方式分为9组：[0，40），[40，80），…，[320，360]，绘制得到如下的频率分布直方图：
1. （1）试估计抽查样本中用电量在[160，200）的用户数量；
2. （2）为了解用户的具体用电需求，统计部门决定在样本中月均用电量为[0，40）和[320，360]的两组居民用户中随机抽取两户进行走访，求走访对象来自不同的组的概率．
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19. (2021高二上·衡阳月考) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 到坐标原点的距离等于该点到准线的距离．
1. （1）求抛物线的标准方程；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 为抛物线上异于原点 $\text{[math]}$ 的两点，直线 $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若直线 $\text{[math]}$ 过定点 $\text{[math]}$ ．证明： $\text{[math]}$ 为定值．
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20. (2021高二上·衡阳月考) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上一点．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．
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21. (2021高二上·衡阳月考) 已知函数 $\text{[math]}$ 为奇函数， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求实数 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 恒成立，记实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为 $\text{[math]}$ ，问是否存在不同的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ？若存在，请举例，若不存在，请说明理由．
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22. (2021高二上·衡阳月考) 如图，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以线段 $\text{[math]}$ 为直径的圆内切于圆 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明 $\text{[math]}$ 为定值，并写出点 $\text{[math]}$ 的轨迹 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）设点 $\text{[math]}$ 是曲线 $\text{[math]}$ 上的不同三点，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．
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