北京市朝阳区2021-2022学年高二上学期数学期末考试试卷

更新时间：2022-01-28 浏览次数：74 类型：期末考试

一、单选题

1. 点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . $\text{[math]}$

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2. -2与-8的等差中项是（）

A . -5 B . -4 C . 4 D . 5

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3. 已知直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，且与直线 $\text{[math]}$ 垂直，则直线 $\text{[math]}$ 的方程是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知圆 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 外切，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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6. 曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2020高三上·浙江月考) 已知数列 $\text{[math]}$ 为等比数列，则“ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ 为递减数列”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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8. 点 $\text{[math]}$ 是正方体 $\text{[math]}$ 的底面 $\text{[math]}$ 内（包括边界）的动点.给出下列三个结论：
①满足 $\text{[math]}$ 的点 $\text{[math]}$ 有且只有1个；②满足 $\text{[math]}$ 的点 $\text{[math]}$ 有且只有1个；③满足 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ 的点 $\text{[math]}$ 的轨迹是线段.
则上述结论正确的个数是（）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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9. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 上的两点， $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上一点，若存在点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于 $\text{[math]}$ 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是 $\text{[math]}$ ，所以正四面体在每个顶点的曲率为 $\text{[math]}$ ，故其总曲率为 $\text{[math]}$ .给出下列三个结论：
①正方体在每个顶点的曲率均为 $\text{[math]}$ ；②任意四棱锥的总曲率均为 $\text{[math]}$ ；③若某类多面体的顶点数 $\text{[math]}$ ，棱数 $\text{[math]}$ ，面数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则该类多面体的总曲率是常数.
其中，所有正确结论的序号是（）

A . ①② B . ①③ C . ②③ D . ①②③

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二、填空题

11. 设函数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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12. 已知抛物线的焦点到准线的距离为 $\text{[math]}$ ，则抛物线的标准方程为.（写出一个即可）

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13. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的右焦点为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的垂线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在第一象限与双曲线及其渐近线分别交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点.若 $\text{[math]}$ ，则双曲线的离心率为.

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14. 古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的距离之比为定值 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的点的轨迹是圆.人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，记动点 $\text{[math]}$ 的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ ，给出下列四个结论：
①曲线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ ；②曲线 $\text{[math]}$ 上存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的距离为6；③曲线 $\text{[math]}$ 上存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的距离大于到直线 $\text{[math]}$ 的距离；④曲线 $\text{[math]}$ 上存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 的距离之和为8.
其中所有正确结论的序号是.

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15. 日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断増加.已知将 $\text{[math]}$ 吨水净化到纯净度为 $\text{[math]}$ 时所需费用（单位：元）为 $\text{[math]}$ .则净化到纯净度为99%时所需费用的瞬时变化率是净化到纯净度为95%时所需费用的瞬时变化率的倍，这说明，水的纯净度越高，净化费用增加的速度越（填“快”或“慢”）.

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16. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

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三、解答题

17. 已知 $\text{[math]}$ 是等差数列， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若数列 $\text{[math]}$ 是公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列， $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .
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18. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为菱形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
3. （3）设点 $\text{[math]}$ 是平面 $\text{[math]}$ 上任意一点，直接写出线段 $\text{[math]}$ 长度的最小值.（不需证明）
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19. 如图，直四棱柱 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的正方形，点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，并给出证明.
  条件①： $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点；条件②： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；条件③： $\text{[math]}$ .
3. （3）在（2）的条件下，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值.
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20. 已知椭圆 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 和椭圆 $\text{[math]}$ 分别交于两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 不重合）.判断以 $\text{[math]}$ 为直径的圆是否过定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由.
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21. 已知项数为 $\text{[math]}$ 的数列 $\text{[math]}$ 是各项均为非负实数的递增数列.若对任意的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 至少有一个是数列 $\text{[math]}$ 中的项，则称数列 $\text{[math]}$ 具有性质 $\text{[math]}$ .
1. （1）判断数列0，1，4，6是否具有性质 $\text{[math]}$ ，并说明理由；
2. （2）设数列 $\text{[math]}$ 具有性质 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）若数列 $\text{[math]}$ 具有性质 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 不是等差数列，求项数 $\text{[math]}$ 的所有可能取值.
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