山西省太原市2022届高三理数二模试卷

更新时间：2022-05-25 浏览次数：50 类型：高考模拟

一、单选题

1. (2022·太原二模) 已知集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2022·太原二模) 在复平面内，复数 $\text{[math]}$ 对应的点在第二象限，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2022·太原二模) 已知命题p：若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；命题q： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．那么下列命题为真命题的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2022·太原二模) 已知随机变量X服从正态分布 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 0 B . 1 C . 2 D . －1

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5. (2022·太原二模) 已知函数 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 为奇函数 B . $\text{[math]}$ 为偶函数 C . $\text{[math]}$ 为奇函数 D . $\text{[math]}$ 为偶函数

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6. (2022·太原二模) 等差数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 则公差 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . 2 C . －1 D . －2

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7. (2022·太原二模) 已知函数 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增 B . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递减 C . $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称 D . $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称

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8. (2022·太原二模) 某产品需要通过两类质量检验才能出货．已知该产品第一类检验单独通过率为 $\text{[math]}$ 第二类检验单独通过率为 $\text{[math]}$ ，规定：第一类检验不通过则不能进入第二类检验，每类检验未通过可修复后再检验一次，修复后无需从头检验，通过率不变且每类检验最多两次，且各类检验间相互独立．若该产品能出货的概率为 $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. (2022·太原二模) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的右焦点为 $\text{[math]}$ ，点Q为双曲线左支上一动点，圆 $\text{[math]}$ 与y轴的一个交点为P，若 $\text{[math]}$ ，则双曲线离心率的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2022·太原二模) 过抛物线 $\text{[math]}$ 焦点F的直线交抛物线于M，N两点，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或3 D . $\text{[math]}$ 或2

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11. (2022·太原二模) 已知点M是棱长为3的正方体 $\text{[math]}$ 的内切球O球面上的动点，点N为线段 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则动点M运动路线的长度为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. (2022·太原二模) 已知函数 $\text{[math]}$ 图象上存在两条互相垂直的切线，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. (2022·太原二模) 曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程为．

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14. (2022·太原二模) 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 夹角的余弦值为.

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15. (2022·太原二模) 2021年9月，我国三星堆遗址出土国宝级文物“神树纹玉琮”，如图所示，该玉琮由整块灰白色玉料加工而成，外方内圆，中空贯通，形状对称．为计算玉琮的密度，需要获得其体积等数据．已知玉琮内壁空心圆柱的高为h，且其底面直径为d，正方体(四个面与外侧圆柱均相切)的棱长为a，且d＜a＜h，则玉琮的体积为．(忽略表面磨损等)

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16. (2022·太原二模) 已知数列 $\text{[math]}$ 的首项为1，前n项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则数列数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ．

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三、解答题

17. (2022·太原二模) 在 $\text{[math]}$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．设 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求角C；
2. （2）若D为AB中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．
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18. (2022·太原二模) 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，侧面 $\text{[math]}$ 是矩形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E，F分别为棱 $\text{[math]}$ ， BC的中点，G为线段CF的中点．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．
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19. (2022·太原二模) 足球运动是深受人们喜爱的一项体育运动，其中守门员扑点球和传球是足球训练中的两个重要训练项目．
1. （1）假设发点球时，球员等可能地选择左、中、右三个方向射门，守门员等可能地选择左、中、右三个方向扑点球，且守门员方向判断正确时有 $\text{[math]}$ 的可能将球扑出球门外．在一次点球战中，求守门员在前三次点球中，把球扑出球门外的个数X的分布列和数学期望；
2. （2）某次传球训练中，教练员让甲、乙、丙、丁4名球员进行传接球训练，从甲开始传球，等可能地传给另外3人中的1人，接球者再等可能地传给另外3人中的1人，如此一直进行．假设每个球都能被接住，记第n次传球后球又回到甲脚下的概率为 $\text{[math]}$ ．求证：数列 $\text{[math]}$ 为等比数列，并求 $\text{[math]}$ ．
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20. (2022·太原二模) 已知椭圆C： $\text{[math]}$ 的左焦点为 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 的直线与椭圆交于M，N两点，当MN⊥x轴时， $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆C的方程；
2. （2）设经过点H（0，-1）的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点P关于y轴的对称点为F，直线FQ与y轴交于点G，求△PQG面积的取值范围.
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21. (2022·太原二模) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，求a的取值范围；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 时有两个极值点 $\text{[math]}$ ，证明：
  ① $\text{[math]}$ ；
  ② $\text{[math]}$ ．
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22. (2022·太原二模) 在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，曲线C的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数）.以坐标原点为极点， $\text{[math]}$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ .
1. （1）将曲线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 化为直角坐标方程；
2. （2）过原点 $\text{[math]}$ 引一条射线，分别交曲线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，射线上另有一点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程.
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23. (2022·太原二模) 已知函数 $\text{[math]}$ 的最大值为M，正实数m，n满足m+n=M.
1. （1）若不等式 $\text{[math]}$ 有解，求a的取值范围；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，对任意正实数p，q，证明： $\text{[math]}$ .
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