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广东省2022届高三数学二模试卷

更新时间：2022-07-05 浏览次数：151 类型：高考模拟

一、单选题

1. (2022·广东二模) 已知集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2022·广东二模) 定义在 $\text{[math]}$ 上的下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2022·广东二模) 已知随机变量 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 0.7 B . 0.4 C . 0.3 D . 0.2

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4. (2022·广东二模) 某校安排高一年级（1）～（5）班共5个班去A，B，C，D四个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高一（1）班被安排到A基地的排法总数为（）

A . 24 B . 36 C . 60 D . 240

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5. (2022·广东二模) 若函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 图象的任意连续三个交点构成边长为4的等边三角形，则正实数 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . π

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6. (2022·广东二模) 赵爽弦图（如图1）中的大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼接而成的，若直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，由大正方形面积等于4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和可得勾股定理 $\text{[math]}$ ．仿照赵爽弦图构造如图2所示的菱形，它是由两对全等的直角三角形和中间的矩形拼接而成的，设直角三角形的斜边都为1，其中一对直角三角形含有锐角 $\text{[math]}$ ，另一对直角三角形含有锐角 $\text{[math]}$ （位置如图2所示）．借鉴勾股定理的推导思路可以得到结论（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2022·广东二模) 已知抛物线E： $\text{[math]}$ ，圆F： $\text{[math]}$ ，直线l： $\text{[math]}$ （t为实数）与抛物线E交于点A，与圆F交于B，C两点，且点B位于点C的右侧，则△FAB的周长可能为（）

A . 4 B . 5 C . 6 D . 7

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8. (2022·广东二模) 存在函数 $\text{[math]}$ 使得对于 $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$ ，则函数 $\text{[math]}$ 可能为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. (2022·广东二模) 已知复数z的共轭复数是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， i是虚数单位，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的虚部是0 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点在第四象限

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10. (2022·广东二模) 吹气球时，记气球的半径r与体积V之间的函数关系为r（V）， $\text{[math]}$ 为r（V）的导函数．已知r（V）在 $\text{[math]}$ 上的图象如图所示，若 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$

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11. (2022·广东二模) 在所有棱长都相等的正三棱柱中，点A是三棱柱的顶点，M，N、Q是所在棱的中点，则下列选项中直线AQ与直线MN垂直的是（）

A . B . C . D .

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12. (2022·广东二模) 如图，已知扇形OAB的半径为1， $\text{[math]}$ ，点C、D分别为线段OA、OB上的动点，且 $\text{[math]}$ ，点E为 $\text{[math]}$ 上的任意一点，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的最小值为0 B . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的最大值为1 D . $\text{[math]}$ 的最小值为0

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三、填空题

13. (2022·广东二模) 已知双曲线 $\text{[math]}$ ＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝± $\text{[math]}$ x，则它的离心率为．

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14. (2022·广东二模) 若直线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 将圆 $\text{[math]}$ 的周长四等分，则 $\text{[math]}$ ．

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15. (2024高一下·北京市期中) 若函数 $\text{[math]}$ 的最大值为1，则常数 $\text{[math]}$ 的一个取值为．

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16. (2022·广东二模) 十字贯穿体（如图1）是美术素描学习中一种常见的教具．如图2，该十字贯穿体由两个全等的正四棱柱组合而成，且两个四棱柱的侧棱互相垂直，若底面正方形边长为2，则这两个正四棱柱公共部分所构成的几何体的内切球的体积为．

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四、解答题

17. (2022·广东二模) 已知递增等比数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式．
2. （2）若数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前15项和．
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18. (2022高二下·常州期末) 小李下班后驾车回家的路线有两条．路线1经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是 $\text{[math]}$ ；路线2经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是 $\text{[math]}$ ，第二个路口遇到红灯的概率是 $\text{[math]}$ ．假设两条路线全程绿灯时的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立．
1. （1）若小李下班后选择路线1驾车回家，求至少遇到一个红灯的概率．
2. （2）假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加1min，为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间（单位：min）的期望最小，小李应选择哪条路线？请说明理由．
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19. (2022·广东二模) 如图，已知△ABC内有一点P，满足 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ．
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求PC．
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20. (2023高三上·新化期末) 如图1，在△ABC中， $\text{[math]}$ ， DE是△ABC的中位线，沿DE将△ADE进行翻折，使得△ACE是等边三角形（如图2），记AB的中点为F．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面ABC．
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，二面角D-AC-E为 $\text{[math]}$ ，求直线AB与平面ACD所成角的正弦值．
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21. (2022·广东二模) 已知椭圆C： $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为椭圆的右焦点，过点F且斜率不为0的直线 $\text{[math]}$ 交椭圆于M，N两点，当 $\text{[math]}$ 与x轴垂直时， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆C的标准方程．
2. （2） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为椭圆的左、右顶点，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别与直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 交于P，Q两点，证明：四边形 $\text{[math]}$ 为菱形．
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22. (2022·广东二模) 已知函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ）的图象与x轴交于P，Q两点，且点P在点Q的左侧．
1. （1）求点P处的切线方程 $\text{[math]}$ ，并证明： $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．
2. （2）若关于x的方程 $\text{[math]}$ （t为实数）有两个正实根 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ．
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