湘豫名校联考2023届高三上学期理数8月入学摸底考试试卷

更新时间：2022-09-30 浏览次数：65 类型：开学考试

一、单选题

1. (2023湘豫高三上·开学考) 已知全集 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2023湘豫高三上·开学考) 设 $\text{[math]}$ 表示两条不同的直线， $\text{[math]}$ 表示平面，且 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”成立的（）

A . 充要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分不必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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3. (2023湘豫高三上·开学考) 已知随机变量 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 0.6 B . 0.5 C . 0.3 D . 0.2

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4. (2023湘豫高三上·开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . 2 C . -1 D . -2

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5. (2023湘豫高三上·开学考) 定义函数 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ 为虚数单位 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的展开式中常数项是（）

A . 180 B . 120 C . 90 D . 45

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6. (2023湘豫高三上·开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ ，则不等式 $\text{[math]}$ 的解集为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2023湘豫高三上·开学考) 已知数列 $\text{[math]}$ 是递增的等差数列， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的等比中项，且 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2023湘豫高三上·开学考) 将函数 $\text{[math]}$ 的图象上所有点的横坐标变为原来的 $\text{[math]}$ 倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，最后将所得函数图象上所有点的纵坐标变为原来的 $\text{[math]}$ 倍，横坐标不变，得到如图所示的函数 $\text{[math]}$ 的部分图象，则 $\text{[math]}$ 的值分别为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. (2023湘豫高三上·开学考) 某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是（）

A . 72 B . 108 C . 216 D . 432

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10. (2023湘豫高三上·开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ 的导函数是 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .给出下列不等式：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ，其中不等式恒成立的个数是（）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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11. (2023湘豫高三上·开学考) 已知三棱锥 $\text{[math]}$ 的顶点都在球 $\text{[math]}$ 的球面上，底面 $\text{[math]}$ 为等边三角形，且其所在圆 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ .若三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积的最大值为 $\text{[math]}$ ，则球 $\text{[math]}$ 的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. (2023湘豫高三上·开学考) 设双曲线 $\text{[math]}$ 的左､右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作斜率为 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 的左､右两支分别交于 $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ ，则双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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二、填空题

13. (2023湘豫高三上·开学考) 已知向量 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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14. (2023湘豫高三上·开学考) 过抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点作一条直线交抛物线于A,B两点，若线段AB的中点M的横坐标为2，则 $\text{[math]}$ 等于.

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15. (2023湘豫高三上·开学考) 已知等比数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，若存在常数 $\text{[math]}$ ，使不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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16. (2023湘豫高三上·开学考) 已知不等式 $\text{[math]}$ 对任意 $\text{[math]}$ 恒成立，则正实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. (2023湘豫高三上·开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 的值域；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ 分别为锐角 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 所对的边， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积.
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18. (2023湘豫高三上·开学考) 在如图所示的直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为正三角形，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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19. (2023湘豫高三上·开学考) 某商超通过产品､价格､渠道和促销等各种营销策略，销售业绩得到不断提升，商超利润也有较大的攀升，经统计，该商超近7周的利润数据如下：
第 $\text{[math]}$ 周
1
2
3
4
5
6
7
商超利润 $\text{[math]}$ （单位：万元）
32
35
36
45
47
51
55
附： $\text{[math]}$ ；参考数据： $\text{[math]}$
1. （1）若 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 具有较强的线性相关关系，求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的线性回归方程 $\text{[math]}$ ，并预测该商超下周的利润；
2. （2）该商超为提升业绩，决定对客户开展抽奖促销活动：单张小票不超过500元可参加抽奖一次；单张小票超过500元可参加抽奖两次.若抽中“一等奖”，可获得30元的代金券；抽中“二等奖”，可获得20元的代金券；抽中“谢谢参与”，则没有奖励.已知本次抽奖活动中获得“一等奖”的概率为 $\text{[math]}$ ，获得二等奖”的概率为 $\text{[math]}$ .某客户有两次参与抽奖活动的机会，假设两次抽奖之间是否中奖相互独立，求该客户所获得代金券总额 $\text{[math]}$ （元）的分布列及数学期望.
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20. (2023湘豫高三上·开学考) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左､右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ，以原点为圆心､椭圆短半轴长为半径的圆与直线 $\text{[math]}$ 相切.
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 交椭圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点（直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴不重合）.在 $\text{[math]}$ 轴上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的斜率之积为定值？若存在，求出所有满足条件的点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由.
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21. (2023湘豫高三上·开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）证明： $\text{[math]}$ .
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22. (2023湘豫高三上·开学考) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，曲线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数），直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，倾斜角为 $\text{[math]}$ ，以坐标原点为极点， $\text{[math]}$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 的普通方程和直线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程；
2. （2）设直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为曲线 $\text{[math]}$ 上的动点，当 $\text{[math]}$ 最大时，求 $\text{[math]}$ 的面积.
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23. (2023湘豫高三上·开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）求不等式 $\text{[math]}$ 的解集；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，且正数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .
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