2012年高考理数真题试卷（陕西卷）

更新时间：2021-05-20 浏览次数：414 类型：高考真卷

一、选择题

1. (2012·陕西理) 集合M={x|lgx＞0}，N={x|x²≤4}，则M∩N=（）

A . （0，2] B . （0，2） C . （1，2] D . （1，2）

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2. (2012·陕西理) 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）

A . y=x+1 B . y=﹣x² C . y= $\text{[math]}$ D . y=x|x|

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3. (2012·陕西理) 设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数 $\text{[math]}$ 为纯虚数”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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4. (2012·陕西理) 已知圆C：x²+y²﹣4x=0，l为过点P（3，0）的直线，则（）

A . l与C相交 B . l与C相切 C . l与C相离 D . 以上三个选项均有可能

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5. (2012·陕西理)
如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁ ， CA=CC₁=2CB，则直线BC₁与直线AB₁夹角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2012·陕西理)
从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，中位数分别为m_甲， m_乙，则（）

A . $\text{[math]}$ ， m_甲＞m_乙 B . $\text{[math]}$ ， m_甲＜m_乙 C . $\text{[math]}$ ， m_甲＞m_乙 D . $\text{[math]}$ ， m_甲＜m_乙

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7. (2012·陕西理) 设函数f（x）=xe^x ，则（）

A . x=1为f（x）的极大值点 B . x=1为f（x）的极小值点 C . x=﹣1为f（x）的极大值点 D . x=﹣1为f（x）的极小值点

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8. (2012·陕西理) 两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（）

A . 10种 B . 15种 C . 20种 D . 30种

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9. (2012·陕西理) 在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a²+b²=2c² ，则cosC的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2012·陕西理)
如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上

11. (2012·陕西理) 观察下列不等式：
$\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$
…
照此规律，第五个不等式为．

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12. (2012·陕西理) （a+x）⁵展开式中x²的系数为10，则实数a的值为．

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13. (2012·陕西理) 如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为米．

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14. (2012·陕西理) 设函数 $\text{[math]}$ ，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x﹣2y在D上的最大值为．

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15. (2012·陕西理) （考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
A．（不等式选做题）若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，则实数a的取值范围是．
B．（几何证明选做题）如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB=6，AE=1，则DF•DB=．
C．（坐标系与参数方程）直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为．

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三、解答题

16. (2012·陕西理) 函数 $\text{[math]}$ （A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 $\text{[math]}$ ，
1. （1）求函数f（x）的解析式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，求α的值．
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17. (2012·陕西理) 设{a_n}是公比不为1的等比数列，其前n项和为S_n ，且a₅ ， a₃ ， a₄成等差数列．
1. （1）求数列{a_n}的公比；
2. （2）证明：对任意k∈N₊ ， S_k+2 ， S_k ， S_k+1成等差数列．
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18. (2012·陕西理) 如图
1. （1）证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．
2. （2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）
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19. (2012·陕西理) 已知椭圆C₁： $\text{[math]}$ +y²=1，椭圆C₂以C₁的长轴为短轴，且与C₁有相同的离心率．
1. （1）求椭圆C₂的方程；
2. （2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C₁和C₂上， $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，求直线AB的方程．
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20. (2012·陕西理) 某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如表：
办理业务所需的时间（分）
1
2
3
4
5
频率
0.1
0.4
0.3
0.1
0.1
从第一个顾客开始办理业务时计时．
1. （1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；
2. （2） X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．
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21. (2012·陕西理) 设函数f_n（x）=xⁿ+bx+c（n∈N₊ ， b，c∈R）
1. （1）设n≥2，b=1，c=﹣1，证明：f_n（x）在区间 $\text{[math]}$ 内存在唯一的零点；
2. （2）设n=2，若对任意x₁ ， x₂∈[﹣1，1]，有|f₂（x₁）﹣f₂（x₂）|≤4，求b的取值范围；
3. （3）在（1）的条件下，设x_n是f_n（x）在 $\text{[math]}$ 内的零点，判断数列x₂ ， x₃ ， …，x_n $\text{[math]}$ 的增减性．
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