山西省名校2022-2023学年高二下学期数学联考试卷

更新时间：2023-03-23 浏览次数：77 类型：月考试卷

一、单选题

1. (2023高二下·山西月考) 在数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 4 B . 6 C . 8 D . 12

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2. (2023高二下·山西月考) 已知函数 $\text{[math]}$ 的导函数 $\text{[math]}$ 的图象如图所示，则（）

A . $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增 B . $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上有且仅有2个极值点 C . $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上有且仅有3个零点 D . $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上存在极大值点

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3. (2023高三上·佛山月考) 已知椭圆C： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1的离心率为 $\text{[math]}$ ，则C的长轴长为（）

A . 8 $\text{[math]}$ B . 4 $\text{[math]}$ C . 2 $\text{[math]}$ D . 4

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4. (2023高二下·山西月考) 设等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和分别为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2023高二下·山西月考) 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数 $\text{[math]}$ 在闭区间 $\text{[math]}$ 上的图象连续不间断，在开区间 $\text{[math]}$ 内的导数为 $\text{[math]}$ ，那么在区间 $\text{[math]}$ 内至少存在一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 成立，其中 $\text{[math]}$ 叫做 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的“拉格朗日中值点”的个数为（）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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6. (2023高二下·山西月考) 若过点 $\text{[math]}$ 且斜率为k的直线l与曲线 $\text{[math]}$ 有且只有一个交点，则实数k的值不可能是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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7. (2023高二下·山西月考) 已知数列 $\text{[math]}$ ，若数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2023高二下·山西月考) 已知函数 $\text{[math]}$ 的定义域均为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的导函数，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为偶函数，则 $\text{[math]}$ （）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 4

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二、多选题

9. (2023高二下·山西月考) 已知 $\text{[math]}$ 为等差数列， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 的公差为2 B . $\text{[math]}$ 的公差为3 C . $\text{[math]}$ 的前50项和为1390 D . $\text{[math]}$ 的前50项和为1290

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10. (2023高二下·山西月考) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，则（）

A . 直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ B . 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ C . 二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ D . 点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$

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11. (2023高二下·山西月考) 已知函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的图象上有且仅有两对关于原点对称的点，则 $\text{[math]}$ 的取值可能是（）

A . e B . e $\text{[math]}$ C . 3 D . 4

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12. (2023高二下·山西月考) 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数： $\text{[math]}$ ．该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列 $\text{[math]}$ 称为斐波那契数列，现将 $\text{[math]}$ 中的各项除以2所得的余数按原来的顺序构成的数列记为 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题

13. (2023高二下·山西月考) 已知函数 $\text{[math]}$ ，则曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程为．

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14. (2023高二下·山西月考) 古希腊哲学家芝诺提出了如下悖论：一个人以恒定的速度径直从 $\text{[math]}$ 点走向 $\text{[math]}$ 点，先走完总路程的二分之一，再走完剩下路程的二分之一，如此下去，会产生无限个“剩下的路程”，因此他有无限个“剩下路程的二分之一”要走，这个人永远走不到终点，因古代人们对无限认识的局限性，所以芝诺得到了错误的结论．设 $\text{[math]}$ ，这个人走的第 $\text{[math]}$ 段距离为 $\text{[math]}$ ，则满足这个人走的前 $\text{[math]}$ 段距离的总和 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 的一个值可以为．

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15. (2023高二下·山西月考) 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的导函数， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的导函数，则曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的曲率 $\text{[math]}$ ．若曲线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的曲率分别为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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16. (2023高二下·山西月考) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ 内侧一点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的一动点， $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，该抛物线 $\text{[math]}$ 上一点A（非顶点）处的切线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相切，则 $\text{[math]}$ ．

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四、解答题

17. (2023高二下·山西月考) 在数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .
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18. (2023高二下·山西月考) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递减，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，试问过点 $\text{[math]}$ 向曲线 $\text{[math]}$ 可作几条切线？
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19. (2023高二下·山西月考) 如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱A₁A⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=2，AA₁=AB=4，E为棱AA₁的中点．
1. （1）证明：BC⊥C₁E．
2. （2）设 $\text{[math]}$ =λ $\text{[math]}$ （0<λ<1），若C₁到平面BB₁M的距离为 $\text{[math]}$ ，求λ．
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20. (2023高二下·山西月考) 已知等比数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的等差中项，数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ．
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21. (2023高二下·山西月考) 法国数学家加斯帕尔·蒙日创立的《画法几何学》对世界各国科学技术的发展影响深远．在双曲线 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1（a>b>0）中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴长与虚半轴长的平方差的算术平方根，这个圆被称为蒙日圆．已知双曲线C： $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1（a>b>0）的实轴长为6，其蒙日圆方程为x²+y²=1．
1. （1）求双曲线C的标准方程；
2. （2）设D为双曲线C的左顶点，直线l与双曲线C交于不同于D的E，F两点，若以EF为直径的圆经过点D，且DG⊥EF于G，证明：存在定点H，使|GH|为定值．
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22. (2023·武威模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的极值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．
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