江苏省苏州市常熟市2021-2022学年高一下学期数学期中试...

更新时间：2023-03-27 浏览次数：75 类型：期中考试

一、单选题

1. (2022高一下·常熟期中) $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是两个单位向量，则下列四个结论中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2022高一下·常熟期中) 若复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为虚数单位），则 $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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3. (2022高一下·常熟期中) 已知平面向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2022高一下·常熟期中) 如图所示的△ABC中，点D是线段AB上靠近A的三等分点，点E是线段BC的中点，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2022高一下·常熟期中) 一正四棱柱的底面边长为2，高为4，则该正四棱柱的外接球的表面积为（）

A . 6π B . 12π C . $\text{[math]}$ D . 24π

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6. (2022高一下·常熟期中) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2022高一下·常熟期中) 某教师组织本班学生开展课外实地测量活动，如图是要测山高MN，现选择点A和另一座山的山顶（点）C作为测量观测点，从A测得点M的仰角∠MAN=45°，点C的仰角∠CAB=30°，测得∠MAC=75°，∠MCA=60°，已知另一座山高 $\text{[math]}$ 米，则山高MN等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 200 D . $\text{[math]}$

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8. (2022高一下·常熟期中) 在边长为2的等边△ABC中，D为AC的中点，M为AB边上一动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. (2022高一下·常熟期中) 圆柱的侧面展开图是长6cm，宽4cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2022高一下·常熟期中) 已知复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的共轭复数，则以下结论正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ 是实数，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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11. (2022高一下·常熟期中) 下列计算正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. (2022高一下·常熟期中) 如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是与x轴､y轴正方向同向的单位向量.若向量 $\text{[math]}$ ，则把有序数对 $\text{[math]}$ 叫做向量 $\text{[math]}$ 在坐标系xOy中的坐标.若在坐标系xOy中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. (2022高一下·常熟期中) 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ .

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14. (2022高一下·常熟期中) 已知△ABC的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则边BC长是.

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15. (2022高一下·常熟期中) 学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体 $\text{[math]}$ 挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，打印所用原料密度为 $\text{[math]}$ .在不考虑打印损耗的情况下，制作该模型所需原料的质量是g.

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16. (2022高一下·常熟期中) 在代数发展史上，解一元多项式方程一直是人们研究的一个中心问题.数学有如下代数基本定理：任何一元 $\text{[math]}$ 次复系数方程 $\text{[math]}$ 至少有一个复数根.进而可得到：一元n项式方程有n个复数根（重根按重数计）.早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程.16世纪上半叶，数学家得到了一元三次方程､一元四次方程的解法，实系数一元二次方程 $\text{[math]}$ 在复数集C内的根 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，实系数一元三次方程 $\text{[math]}$ 在复数集C内的根 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则方程 $\text{[math]}$ 的实数根为，虚数根.

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四、解答题

17. (2022高一下·常熟期中) 已知复数z满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为虚数单位.
1. （1）求复数z；
2. （2）若复数z， $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点为A，B，O为坐标原点，求 $\text{[math]}$ OAB的面积.
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18. (2022高一下·常熟期中) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是同一平面内的三个不同向量，其中 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值，并求出此时 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值.
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19. (2022高一下·常熟期中) 某港口海水的深度 $\text{[math]}$ 是时间t（时）（ $\text{[math]}$ ）的函数，记为 $\text{[math]}$ .已知某日海水深度的数据如下：
t（时）
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
$\text{[math]}$
9.5
12.5
14
12.5
9.5
8.0
9.5
12.5
14.0
12.5
9.5
8.0
9.5
经长期观察， $\text{[math]}$ 的曲线可近似地看成函数 $\text{[math]}$ 的图象.
1. （1）根据以上数据，求出函数 $\text{[math]}$ 的表达式；
2. （2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5 $\text{[math]}$ 或5 $\text{[math]}$ 以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）.某船吃水深度（船底离水面的距离）为7.5 $\text{[math]}$ ，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问：它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？
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20. (2022高一下·常熟期中) 在① $\text{[math]}$ ， ② $\text{[math]}$ ， ③ $\text{[math]}$ 这三个条件中，有且只有一个符合题意，请选择符合题意的条件，补充在下面的问题中，并求解.
在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， ____.
1. （1）求角C；
2. （2）若M是AB边上的一点，且 $\text{[math]}$ ，求CM的长.
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21. (2022高一下·常熟期中) 如图，某圆形小区有两块空余绿化扇形草地 $\text{[math]}$ （圆心角为 $\text{[math]}$ ）和 $\text{[math]}$ （圆心角为 $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ 为圆的直径.现分别要设计出两块社区活动区域，其中一块为矩形区域 $\text{[math]}$ ，一块为平行四边形区域 $\text{[math]}$ ，已知圆的直径 $\text{[math]}$ 百米，且点 $\text{[math]}$ 在劣弧 $\text{[math]}$ 上（不含端点），点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上､点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上､点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上､点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，记 $\text{[math]}$ .
1. （1）经设计，当 $\text{[math]}$ 达到最大值时，取得最佳观赏效果，求 $\text{[math]}$ 取何值时， $\text{[math]}$ 最大，最大值是多少？
2. （2）设矩形 $\text{[math]}$ 和平行四边形 $\text{[math]}$ 面积和为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值及此时 $\text{[math]}$ 的值.
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22. (2022高一下·常熟期中) 若已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的最大值为2，求实数a的值.
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