吉林省长春吉大附高2023年高三第五次模拟考试数学试卷

更新时间：2023-07-19 浏览次数：69 类型：高考模拟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. (2023高三下·吉林) 已知 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为虚数单位），则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2023高三下·吉林) 集合 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 则集合 $\text{[math]}$ 中的元素个数为（）

A . 3 B . 4 C . 5 D . 6

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3. (2023高三下·吉林) 庑殿（图1）是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，多用于宫殿、坛庙、重要门楼等高级建筑上，庑殿的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成5根屋脊，故又称“四阿殿”或“五脊殿”．图2是根据庑殿顶构造的多面体模型，底面 $\text{[math]}$ 是矩形，且四个侧面与底面的夹角均相等，则（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2023高三下·吉林) 在数列 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2023高三下·吉林) 已知 $\text{[math]}$ 为异面直线， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，若直线 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交，且交线平行于 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交，且交线垂直于 $\text{[math]}$

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6. (2023高三下·吉林) 已知 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 为曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的交点，且两条曲线在点 $\text{[math]}$ 处的切线重合，则实数 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2023高三下·吉林) 如图，在 $\text{[math]}$ 所在平面内，分别以 $\text{[math]}$ 为边向外作正方形 $\text{[math]}$ 和正方形 $\text{[math]}$ ．记 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，面积为 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

8. (2023高三下·吉林) 已知 $\text{[math]}$ 展开式中的第三项的系数为45，则（）

A . $\text{[math]}$ B . 展开式中所有系数和为 $\text{[math]}$ C . 二项式系数最大的项为中间项 D . 含 $\text{[math]}$ 的项是第7项

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9. (2023高三下·吉林) 2022年11月17日，工业和信息化部成功举办第十七届“中国芯”集成电路产业大会．此次大会以“强芯固基以质为本”为主题，旨在培育壮大我国集成电路产业，夯实产业基础、营造良好产业生态.某芯片研发单位用在“A芯片”上研发费用占本单位总研发费用的百分比 $\text{[math]}$ 如表所示.已知 $\text{[math]}$ ，于是分别用p＝ $\text{[math]}$ 和p＝ $\text{[math]}$ 得到了两条回归直线方程： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，对应的相关系数分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，百分比y对应的方差分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）（附： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

年份	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
年份代码x	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	p	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	q

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2023高三下·吉林) 设 $\text{[math]}$ ，圆 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为圆心）， $\text{[math]}$ 为圆 $\text{[math]}$ 上任意一点，线段 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作线段 $\text{[math]}$ 的垂线与直线 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ．当点 $\text{[math]}$ 在圆 $\text{[math]}$ 上运动时，点 $\text{[math]}$ 的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的有（）

A . 曲线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ B . 当点 $\text{[math]}$ 在圆 $\text{[math]}$ 上时，点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ C . 曲线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 无公共点

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11. (2023高三下·吉林) 若正实数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

12. (2023高三下·吉林) 设 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则a的取值范围为.

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13. (2023高三下·吉林) 已知圆 $\text{[math]}$ 及直线 $\text{[math]}$ ，当直线 $\text{[math]}$ 被圆 $\text{[math]}$ 截得的弦长为 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的值等于.

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14. (2023高三下·吉林) 已知正四棱柱 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ，侧棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是侧棱 $\text{[math]}$ 上的动点，直线 $\text{[math]}$ 交平面 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则动点 $\text{[math]}$ 的轨迹长度为．

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15. (2023高三下·吉林) 将数列 $\text{[math]}$ 中的项排成下表：
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

…

已知各行的第一个数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …构成数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ），从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等差数列，且公差为同一个常数.若 $\text{[math]}$ ，则第6行的所有项的和为.

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四、解答题：本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16. (2023高三下·吉林) 已知函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的部分图象如图所示．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的解析式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增，求实数 $\text{[math]}$ 的最大值．
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17. (2023高三下·吉林) 数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 是常数列；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大项．
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18. (2023高三下·吉林) 甲、乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得 $\text{[math]}$ 分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲、乙每次踢球命中的概率均为 $\text{[math]}$ ，甲扑到乙踢出球的概率为 $\text{[math]}$ ，乙扑到甲踢出球的概率 $\text{[math]}$ ，且各次踢球互不影响．
1. （1）经过1轮踢球，记甲的得分为X，求X的分布列及数学期望；
2. （2）求经过3轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率．
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19. (2023高三下·吉林) 如图，三棱台 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ∥平面 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积；
2. （2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．
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20. (2023高三下·吉林) 已知抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 四个点．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求四边形 $\text{[math]}$ 面积；
2. （2）当四边形 $\text{[math]}$ 的面积最大时，求圆 $\text{[math]}$ 的半径 $\text{[math]}$ 的值．
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21. (2023高三下·吉林) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）讨论 $\text{[math]}$ 的极值点个数；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 有两个极值点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ .
  （i）证明： $\text{[math]}$ ；
  
  （ii）证明： $\text{[math]}$ .
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