一、单选题(本大题共8小题,共40.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
-
1.
已知集合
, 则
( )
-
2.
在复平面内,复数
,
对应的点分别是
,
, 则
的虚部是( )
-
3.
九章算术
卷
商功
记载一个问题“今有圆堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺.问积几何?答曰:二千一百一十二尺.术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”
这里所说的圆堡瑽就是圆柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,十二而一”
就是说:圆堡瑽
圆柱体
的体积为
底面圆的周长的平方
高
, 则由此可推得圆周率
的取值为( )
-
4.
已知抛物线
的准线过双曲线
的一个焦点,则
( )
-
-
6.
若幂函数
的图象过点
, 则函数
的递增区间为( )
-
7.
六名同学排成一排照相,则其中甲、乙、丙三人两两不相邻,且甲和丁相邻的概率为( )
-
8.
已知数列
满足
, 且
的前
项的和记为
, 则
( )
二、多选题(本大题共4小题,共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)
-
-
-
A . 存在唯一点 , 使得
B . 存在唯一点 , 使得直线与平面所成的角取到最小值
C . 若 , 则三棱锥外接球的表面积为
D . 若异面直线与所成的角为 , 则动点的轨迹是抛物线的一部分
-
三、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
-
13.
已知等比数列
的前三项和为
, 且
, 则
的公比为
.
-
14.
若
的展开式中二项式系数之和为
, 则
的展开式中
的系数为
.
-
15.
古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名
他发现:“平面内到两个定点
,
的距离之比为定值
的点的轨迹是圆”,后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆
在平面直角坐标系
中,
,
, 点
满足
则点
的轨迹方程为
;在三棱锥
中,
平面
, 且
,
,
, 该三棱锥体积的最大值为
.
-
16.
已知函数,
, 若
恒成立,则实数
的取值范围
.
四、解答题(本大题共6小题,共70.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
-
-
(1)
求数列
的通项公式;
-
(2)
记
, 证明:
.
-
18.
在
中,
为
的角平分线上一点,且与
分别位于边
的两侧,若
,
.
-
(1)
求
的面积;
-
(2)
若
, 求
的长.
-
19.
某市举行招聘考试,共有
人参加,分为初试和复试,初试通过后参加复试
为了解考生的考试情况,随机抽取了
名考生的初试成绩,并以此为样本绘制了样本频率分布直方图,如图所示.
-
(1)
根据频率分布直方图,试求样本平均数的估计值;
-
(2)
若所有考生的初试成绩
近似服从正态分布
, 其中
为样本平均数的估计值,
, 试估计初试成绩不低于
分的人数;
-
(3)
复试共三道题,第一题考生答对得
分,答错得
分,后两题考生每答对一道题得
分,答错得
分,答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩
已知某考生进入复试,他在复试中第一题答对的概率为
, 后两题答对的概率均为
, 且每道题回答正确与否互不影响
记该考生的复试成绩为
, 求
的分布列及均值.
附:若随机变量服从正态分布 , 则: , , .
-
20.
如图,在三棱柱
中,
是
的中点,
是
的中点,点
在
上,且
.
-
(1)
证明:
平面
;
-
(2)
若
平面
,
,
, 求平面
与平面
.夹角的余弦值.
-
21.
已知椭圆
的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,且椭圆
过
, 直线
:
与椭圆
交于
、
.
-
(1)
求椭圆
的标准方程;
-
-
(3)
直线
是过点
的椭圆
的切线,且与直线
交于点
, 定义
为椭圆
的弦切角,
为弦
对应的椭圆周角,探究椭圆
的弦切角
与弦
对应的椭圆周角
的关系,并证明你的结论.
-
-
-
(2)
当
时,函数
在区间
内有唯一的极值点
.
①求实数的取值范围;
②求证:在区间内有唯一的零点 , 且 .