当前位置: 初中数学 /人教版(2024) /九年级上册 /第二十二章 二次函数 /22.2二次函数与一元二次方程
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(人教版)2023-2024学年九年级数学上册22.2 二次...

更新时间:2023-07-16 浏览次数:101 类型:同步测试
一、选择题
  • 1. (2023九上·大冶期末) 二次函数(a,c为常数且)经过 , 且 , 下列结论:①;②;③若关于x的方程有整数解,则符合条件的p的值有3个;④当时,二次函数的最大值为c,则.其中一定正确的有(    )
    A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个
  • 2. (2022九上·东阳月考) 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,其对称轴为直线x= , 且与x轴的一个交点坐标为(﹣2,0).下列结论:

    ①abc>0;

    ②a=b;

    ③图象与x轴的另一个交点坐标为(1,0);

    ④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1=0有两个相等的实数根;

    ⑤2a+c=0.

    其中正确的结论个数是(  )

     

    A . 2 B . 3 C . 4 D . 5
  • 3. (2020九上·三台月考) 若二次函数 的图象与 轴的交点坐标分别是 ,且 ,图象上有一点 轴下方,对于以下说法:① ;② 是方程 的解;③ ;④ ,对于以上说法正确的是(   )
    A . ①②③④ B . ①②④ C . ③④ D . ①③
  • 4. (2020九上·罗源期中) 若二次函数y=ax2+bx-1的最小值为-3,则方程|ax2+bx-1|=2的不相同实数根的个数是(   )
    A . 2 B . 3 C . 4 D . 5
  • 5. (2020九上·武汉期中) 已知抛物线y=ax2+bx+c(a<0)的对称轴为x=-1,与x轴的一个交点为(2,0).若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=p(p>0)有整数根,则p的值有(   )
    A . 2个 B . 3个 C . 4个 D . 5个
  • 6. (2019九上·湖州月考) 如图,二次函数y=ax2+bx+c(a 0)的图象过点(-2,0),对称轴为直线x=1.有以下结论:

    ①abc>0;②8a+c>0;③若A(x1 , m),B(x2 , m)是抛物线上的两点,当x=x1+x2时,y=c;④若方程a(x+2)(4-x)=-2的两根为x1 , x2 , 且x1<x2 , 则-2 x1<x2<4.其中结论正确的有(    )

    A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个
  • 7. (2019九上·嘉陵期中) 抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(﹣1,2),与x轴的一个交点A在点(﹣3,0)和(﹣2,0)之间,其部分图象如图,则以下结论:①b2﹣4ac<0;②a+b+c<0;③c﹣a=2;④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根.其中正确结论的个数为(    )

    A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个
  • 8. (2020九上·巴东期中) 已知二次函数 的图象如图所示,下列结论:

    ;② ;③方程 有两个相等的实数根;④方程 的两根是

    其中正确的结论有(   )个.

    A . 1 B . 2 C . 3 D . 4
  • 9. (2021九上·鄂州期末) 二次函数y=ax2+bx+ca≠0)的部分图象如图所示,图象过点(-1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:(1)4a+b=0;(2)9a+c>3b;(3)8a+7b+2c>0;(4)若点A(-3,y1)、点B(- y2)、点Cy3)在该函数图象上,则y1y3y2;(5)若方程ax+1)(x-5)=-3的两根为x1x2 , 且x1x2 , 则x1<-1<5<x2 . 其中正确的结论有(   )

    A . 2个 B . 3个 C . 4个 D . 5个
  • 10. (2018九上·天台月考) 下表是二次函数 的 x,y的部分对应值:

    则对于该函数的性质的判断:

    ①该二次函数有最大值; ②不等式y>-1 的解集是x<0 或x>2;③ 方程 的两个实数根分别位于 之间;④当x>0 时,函数值y 随x 的增大而增大;

    其中正确的是( )

    A . ②③ B . ②④ C . ①③ D . ①④
二、填空题
三、解答题
  • 16. (2020九上·河西期末) 已知抛物线与x轴交于点 ,与y轴交于点 ,该抛物线的顶点为D.
    1. (1) 求抛物线的解析式及其顶点D的坐标;
    2. (2) 直线 的解析式为
    3. (3) 过点D 轴于H , 在线段 上有一点P到直线 的距离等于线段 的长,求点P的坐标;
    4. (4) 设直线 x轴于点E . 过点Bx轴的垂线,交直线 于点F , 将抛物线沿其对称轴平移,使平移后的抛物线与线段 总有公共点.试探究:抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?
  • 17. (2020九上·澧县期末) 已知:二次函数 ,求证:无论m为任何实数,该二次函数的图象与x轴都在两个交点;
  • 18. (2020九上·丰台期末) 在二次函数的学习中,教材有如下内容:

    小聪和小明通过例题的学习,体会到利用函数图象可以求出方程的近似解.于是他们尝试利用图象法探究方程 的近似解,做法如下:

    请你选择小聪或小明的做法,求出方程 的近似解(精确到0.1).

  • 19. (2020九上·大庆月考) 已知二次函数y=kx2﹣2x﹣1的图像与x轴有两个不同的交点,求实数k的取值范围.
四、综合题
  • 20. (2023九上·诸暨期末) 已知函数为常数)的图象经过点.
    1. (1) 求的值;
    2. (2) 当时,求的最大值与最小值之差;
    3. (3) 当时,若的最大值与最小值之差为8,求的值.
  • 21. (2022九上·通榆期中) 阅读与思考:下面是小明同学的数学小论文,请仔细阅读并完成相应的任务.

    用函数观点认识一元二次方程根的情况

    我们知道,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是相应的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像(抛物线)与x轴交点的横坐标.抛物线与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、无交点与此相对应,一元二次方程的根也有三种情况:有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根.因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况.

    下面根据抛物线的顶点坐标()和一元二次方程根的判别式△=b2-4ac,分a>0和a<0两种情况进行分析:
    当a>0时,抛物线开口向上.

    ①当△=b2-4ac>0时,有4ac-b2<0. 

    ∵a>0,∴顶点纵坐标<0,

    ∴顶点在x轴的下方,抛物线与x轴有两个交点(如图①),

    ∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根.

    ②当△=b2-4ac=0时,有4ac-b2=0.

    ∵a>0,∴顶点纵坐标=0,

    ∴顶点在x轴上,抛物线与x轴有一个交点(如图②),

    ∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根,

    ③当△=b2-4ac<0……
    当a<0时,抛物线开口向下.

    ……

    任务:

    1. (1) 上面小论文中的分析过程,主要运用的数学思想是(从下面选项中选出两个即可)

      A.数形结合

      B.统计思想

      C.分类讨论

      D.转化思想

    2. (2) 请参照小论文中当a>0时①②的分析过程,写出③中当a>0,△<0时,一元二次方程根的情况的分析过程,并画出相应的示意图.
    3. (3) 实际上,除一元二次方程外,初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识,例如:可用函数观点来认识一元一次方程的解,请你再举出一例.
  • 22. (2021九上·青县月考) 已知:抛物线 与x轴交于A、B两点,点A在点B的左侧,与y轴交于点C.直线 ,与抛物线交于E、F两点.
    1. (1) 若 ,求a的值;
    2. (2) 若抛物线的对称轴为

      ①求 的面积;

      ②当 时,求函数最大值与最小值的差;

    3. (3) 当 时,若抛物线的最高点到直线 的距离为1,直接写出a的值.
  • 23. (2020九上·厦门月考) 阅读下列材料

    我们通过下列步骤估计方程2x2+x﹣2=0的根的所在的范围.

    第一步:画出函数y=2x2+x﹣2的图象,发现图象是一条连续不断的曲线,且与x轴的一个交点的横坐标在0,1之间.

    第二步:因为当x=0时,y=﹣2<0;当x=1时,y=1>0.

    所以可确定方程2x2+x﹣2=0的一个根x1所在的范围是0<x1<1.

    第三步:通过取0和1的平均数缩小x1所在的范围;

    取x= ,因为当x= 时,y<0,

    又因为当x=1时,y>0,

    所以 <x1<1.

    1. (1) 请仿照第二步,通过运算,验证2x2+x﹣2=0的另一个根x2所在范围是﹣2<x2<﹣1;
    2. (2) 在﹣2<x2<﹣1的基础上,重复应用第三步中取平均数的方法,将x2所在范围缩小至m<x2<n,使得n﹣m≤

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