浙江省杭州第二名校2023-2024学年高三上册数学第一次月...

更新时间：2023-11-16 浏览次数：53 类型：月考试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. (2023高三上·杭州月考) 已知集合 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2023高三上·杭州月考) 设 $\text{[math]}$ 是虚数单位，已知复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，且复数 $\text{[math]}$ 是纯虚数，则实数 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2023高三上·杭州月考) 为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三一班，二班各10名同学的体温记录（从低到高）：
高三一班：36.1，36.2， $\text{[math]}$ ， 36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位：℃），
高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7， $\text{[math]}$ ， 37.1（单位：℃）
若这两组数据的第25百分位数、第90百分位数都分别对应相等，则 $\text{[math]}$ 为（）

A . 0.6 B . 0.5 C . 0.4 D . 0.3

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4. (2024高三上·邵阳月考) 苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550-1617）发明的对数及对数表（如下表），为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间.即就是任何一个正实数N可以表示成 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，这样我们可以知道N的位数.已知正整数 $\text{[math]}$ 是35位数，则M的值为（）
N
2
3
4
5
11
12
13
14
15
$\text{[math]}$
0.30
0.48
060
070
1.04
1.08
1.11
1.15
1.18

A . 3 B . 12 C . 13 D . 14

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5. (2023高三上·杭州月考) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ，长度为2的线段AB的端点分别落在x轴和y轴上，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2023高三上·杭州月考) 已知两个圆锥的母线长均为6，它们的侧面展开图恰好拼成一个半圆，若它们的侧面积之比是1：2，则它们的体积之和是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2023高三上·杭州月考) 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2023高三上·杭州月考) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则p ， q ， r的大小关系为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在住小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. (2023高三上·杭州月考) 已知两个离散型随机变量 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 的分布列如下：
          $\text{[math]}$
0
1
2
          $\text{[math]}$
          $\text{[math]}$
          $\text{[math]}$
          $\text{[math]}$
若 $\text{[math]}$ ，则（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2023高三上·杭州月考) 已知 $\text{[math]}$ ，则函数 $\text{[math]}$ 的图象可能是（）

A . B . C . D .

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11. (2023高三上·杭州月考) 已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P为圆C： $\text{[math]}$ 上的动点，则（）

A . $\text{[math]}$ 面积的最小值为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$

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12. (2023高三上·杭州月考) 过平面内一点P作曲线 $\text{[math]}$ 两条互相垂直的切线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，切点为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 不重合 $\text{[math]}$ ，设直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别与y轴交于点A、B，则（）

A . $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点的纵坐标之积为定值 B . 直线 $\text{[math]}$ 的斜率为定值 C . 线段AB的长度为定值 D . $\text{[math]}$ 面积的取值范围为 $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. (2023高三上·杭州月考) 已知变量 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的统计数据如下表：
          $\text{[math]}$
6
7
8
9
10
          $\text{[math]}$
3.5
4
5
6
6.5
若由表中数据得到经验回归直线方程为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 时的残差为（注：观测值减去预测值称为残差）.

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14. (2023高三上·杭州月考) 已知多项式 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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15. (2024高二下·湛江月考) 设双曲线 $\text{[math]}$ 的右焦点为 $\text{[math]}$ ，以线段 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为坐标原点）为直径的圆交双曲线 $\text{[math]}$ 的一条渐近线于 $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ ，则双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为．

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16. (2023高三上·杭州月考) 若函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. (2023高三上·杭州月考) 已知 $\text{[math]}$ 中角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ .
1. （1）求角 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的点，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .
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18. (2023高三上·杭州月考) 已知数列 $\text{[math]}$ 成等比数列， $\text{[math]}$ 是其前 $\text{[math]}$ 项的和，若 $\text{[math]}$ 成等差数列.
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 成等差数列；
2. （2）比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小.
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19. (2023高三上·杭州月考) 如图1，在边长为4的等边 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点．将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折至 $\text{[math]}$ （如图2），使得 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上，当 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角最大时，求 $\text{[math]}$ 的长．
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20. (2023高三上·杭州月考) 甲､乙两名运动员进行乒乓球比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概率为 $\text{[math]}$ ，乙获胜的概率为 $\text{[math]}$ ，两人平局的概率为 $\text{[math]}$ ，且每局比赛结果相互独立.
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求甲学员恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数 $\text{[math]}$ 的分布列及期望 $\text{[math]}$ 的最大值.
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21. (2023高三上·杭州月考) 设双曲线 $\text{[math]}$ 的右焦点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为坐标原点，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的右支相交于 $\text{[math]}$ 两点.
1. （1）当直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴垂直时， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的离心率；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 的焦距为2时， $\text{[math]}$ 恒为锐角，求 $\text{[math]}$ 的实轴长的取值范围.
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22. (2023高三上·杭州月考) 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．
1. （1）设函数 $\text{[math]}$ ，证明：
  ① $\text{[math]}$ 有且仅有一个极小值点；
  ②记 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的唯一极小值点，则 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 相切，且有无穷多个切点，求所有符合上述条件的直线 $\text{[math]}$ 的方程．
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