黑龙江省牡丹江市第二高级中学2023-2024学年高三上学期...

更新时间：2024-01-17 浏览次数：10 类型：月考试卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1. (2023高三上·牡丹江月考) 已知 $\text{[math]}$ 是虚数单位，若 $\text{[math]}$ 是纯虚数，则实数 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2023高三上·牡丹江月考) 圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖冲之用“割圆术”将圆周率算到了小数后面第七位，成为当时世界上最先进的成就，“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小，如图所示，当圆的内接正多边形的边数为360时，由“割圆术”可得圆周率的近似值可用代数式表示为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2023高三上·牡丹江月考) 已知数列 $\text{[math]}$ 成等差数列， $\text{[math]}$ 成等比数列，则 $\text{[math]}$ 的值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . -1 D . 1

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4. (2023高三上·牡丹江月考) “ $\text{[math]}$ ”是“函数 $\text{[math]}$ 是奇函数”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分又不必要条件

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5. (2023高三上·牡丹江月考) 已知幂函数 $\text{[math]}$ 的图象过点 $\text{[math]}$ 是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2023高三上·牡丹江月考) 若平面向量 $\text{[math]}$ 两两夹角相等，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 2 B . 5 C . 2或5 D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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7. (2023高三上·牡丹江月考) 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 恒成立，若 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上恰有3个零点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2023高三上·牡丹江月考) 将一个半径为2的球削成一个体积最大的圆锥，则该圆锥的内切球的半径为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. (2023高三上·牡丹江月考) 设集合 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值可能是（）

A . -3 B . 1 C . -1 D . 0

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10. (2023高三上·牡丹江月考) 下列说法正确的是（）

A . 一组数 $\text{[math]}$ 的第75百分位数为15.5 B . 在经验回归方程 $\text{[math]}$ 中，当解释变量 $\text{[math]}$ 每增加1个单位时，相应变量 $\text{[math]}$ 增加0.6个单位 C . 数据 $\text{[math]}$ 的方差为 $\text{[math]}$ ，则数据 $\text{[math]}$ 的方差为 $\text{[math]}$ D . 一个容量为50的样本方差 $\text{[math]}$ ，则这组样本数据的总和等于100

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11. (2023高三上·牡丹江月考) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是边长为2的正方形， $\text{[math]}$ 为等边三角形，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点 B . 若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，则三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ C . 平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$

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12. (2023高三上·牡丹江月考) 已知函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 有相同的极大值，若存在 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 成立，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 的根记为 $\text{[math]}$ 的根记为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. (2023高三上·牡丹江月考) 若向量 $\text{[math]}$ 共线，则实数 $\text{[math]}$ 的值是.

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14. (2023高三上·牡丹江月考) 已知实数 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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15. (2023高三上·牡丹江月考) 如图所示，为了测量某座山的山顶 $\text{[math]}$ 到山脚某处 $\text{[math]}$ 的距离（ $\text{[math]}$ 垂直于水平面），研究人员在距 $\text{[math]}$ 研究所 $\text{[math]}$ 处的观测点 $\text{[math]}$ 处测得山顶 $\text{[math]}$ 的仰角为 $\text{[math]}$ ，山脚 $\text{[math]}$ 的俯角为 $\text{[math]}$ .若该研究员还测得 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 处的距离比到 $\text{[math]}$ 处的距离多 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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16. (2023高三上·牡丹江月考) 已知函数 $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上的奇函数，且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .若存在等差数列 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，使得数列 $\text{[math]}$ 为等比数列，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.

17. (2023高三上·牡丹江月考) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的值.
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18. (2023高三上·牡丹江月考) 在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的最小值.
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19. (2023高三上·牡丹江月考) 如图，已知长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 点作 $\text{[math]}$ 的垂线交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离.
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20. (2023高三上·牡丹江月考) 已知正项数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .
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21. (2023高三上·牡丹江月考) 为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到400只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按 $\text{[math]}$ 分组，绘制频率分布直方图如图所示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有320只，其中该项指标值不小于60的有220只.
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体

没有抗体

合计
1. （1）填写完成上面的 $\text{[math]}$ 列联表（单位：只），并根据列联表及 $\text{[math]}$ 的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.
2. （2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有60只小白鼠产生抗体.
  ①用频率估计概率，求一只小白鼠最多注射两次疫苗后产生抗体的概率 $\text{[math]}$ ；
  ②以①中确定的概率 $\text{[math]}$ 作为人体最多注射两次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，现有40人进行接种试验，设最多注射两次疫苗后产生抗体的人数为随机变量 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 取得最大值，求 $\text{[math]}$ .
  参考公式： $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 为样本容量）
  $\text{[math]}$
  0.50
  0.40
  0.25
  0.15
  0.100
  0.050
  0.025
  $\text{[math]}$
  0.455
  0.708
  1.323
  2.072
  2.706
  3.841
  5.024
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22. (2023高三上·牡丹江月考) 已知曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ 为整数，关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 时恒成立，求 $\text{[math]}$ 的最大值.
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