一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.
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2.
圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值,我国南北朝时期的数学家祖冲之用“割圆术”将圆周率算到了小数后面第七位,成为当时世界上最先进的成就,“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长,从正六边形起算,并依次倍增,使误差逐渐减小,如图所示,当圆的内接正多边形的边数为360时,由“割圆术”可得圆周率的近似值可用代数式表示为( )
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3.
已知数列
成等差数列,
成等比数列,则
的值是( )
A .
B .
C . -1
D . 1
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4.
“
”是“函数
是奇函数”的( )
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分又不必要条件
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5.
已知幂函数
的图象过点
是函数图象上的任意不同两点,则下列结论中正确的是( )
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A . 2
B . 5
C . 2或5
D . 或
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7.
已知函数
, 其中
, 且
恒成立,若
在区间
上恰有3个零点,则
的取值范围是( )
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8.
将一个半径为2的球削成一个体积最大的圆锥,则该圆锥的内切球的半径为( )
二、多选题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
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A . -3
B . 1
C . -1
D . 0
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三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
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13.
若向量
共线,则实数
的值是
.
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15.
如图所示,为了测量某座山的山顶
到山脚某处
的距离(
垂直于水平面),研究人员在距
研究所
处的观测点
处测得山顶
的仰角为
, 山脚
的俯角为
.若该研究员还测得
到
处的距离比到
处的距离多
, 且
, 则
.
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16.
已知函数
是定义在
上的奇函数,且当
时,
.若存在等差数列
, 且
, 使得数列
为等比数列,则
的最小值为
.
四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
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(1)
求
的值;
-
(2)
求
的值.
-
-
-
(2)
求
的最小值.
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19.
如图,已知长方体
中,
, 连接
, 过
点作
的垂线交
于
, 交
于
.
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(1)
求证:
平面
;
-
(2)
求点
到平面
的距离.
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(1)
求
;
-
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21.
为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果,需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到400只小白鼠体内,一段时间后测量小白鼠的某项指标值,按
分组,绘制频率分布直方图如图所示,实验发现小白鼠体内产生抗体的共有320只,其中该项指标值不小于60的有220只.
抗体 | 指标值 | 合计 |
小于60 | 不小于60 |
有抗体 | | | |
没有抗体 | | | |
合计 | | | |
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(1)
填写完成上面的
列联表(单位:只),并根据列联表及
的独立性检验,判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.
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(2)
为检验疫苗二次接种的免疫抗体性,对第一次注射疫苗后没有产生抗体的小白鼠进行第二次注射疫苗,结果又有60只小白鼠产生抗体.
①用频率估计概率,求一只小白鼠最多注射两次疫苗后产生抗体的概率;
②以①中确定的概率作为人体最多注射两次疫苗后产生抗体的概率,进行人体接种试验,现有40人进行接种试验,设最多注射两次疫苗后产生抗体的人数为随机变量 , 当时,取得最大值,求.
参考公式:(其中为样本容量)
| 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.100 | 0.050 | 0.025 |
| 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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(1)
求
的值;
-
(2)
已知
为整数,关于
的不等式
在
时恒成立,求
的最大值.