一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题所列出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的)
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A . 1
B .
C . 4
D .
-
-
4.
(2023高三上·北京市月考)
一个袋中装有大小相同的3个白球和2个红球,现在不放回的取2次球,每次取出一个球,记“第1次拿出的是白球”为事件
, “第2次拿出的是白球”为事件
, 则
( )
-
A . 1792
B .
C . 1120
D .
-
6.
(2023高三上·北京市月考)
《九章算术》卷五商功中有如下描述:今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈.意思为:今有底面为矩形的屋脊状的几何体,下底面宽3丈,长4丈,上棱长2丈,高1丈.现有一刍甍,如图所示,则该刍甍的体积为( )
A . 5立方丈
B . 20立方丈
C . 40立方丈
D . 80立方丈
-
A . 充分而不必要条件
B . 必要而不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
-
A . 1
B .
C .
D . 3
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9.
(2023高三上·北京市月考)
我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图1,伞不管是张开还是收拢,伞柄
始终平分同一平面内两条伞骨所成的角
, 且
, 从而保证伞圈
能够沿着伞柄滑动.如图2,伞完全收拢时,伞圈
已滑到
的位置,且
三点共线,
为
的中点,当伞从完全张开到完全收拢,半圈
沿着伞柄向下滑动的距离为
, 则当伞完全张开时,
的余弦值是( )
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10.
(2023高三上·北京市月考)
下图展示了一个由区间
到实数集R的映射过程:区间
中的实数
对应数轴上的点
(如图1);将线段
围成一个圆,使两端点
、
恰好重合(从
到
是逆时针,如图2);再将这个圆放在平面直角坐标系中,使其圆心在
轴上,点
的坐标为
(如图3),图3中直线
与
轴交于点
, 则
的象就是
, 记作
.
则下列命题中正确的是( )
A .
B . 是奇函数
C . 在其定义域上单调递增
D . 的图象关于轴对称
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
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-
12.
(2023高三上·北京市月考)
已知直线
和平面
. 给出下列三个论断:
①;②;③ .
以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:.
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13.
(2023高三上·北京市月考)
某部门计划对某路段进行限速,为调查限速
是否合理,对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测,将所得数据按
分组,绘制成如图所示频率分布直方图.则
;这300辆汽车中车速低于限速
的汽车有
辆.
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三、解答题(本大题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
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(1)
求证:
;
-
(2)
求二面角
的余弦值;
-
(3)
在棱
上是否存在点
, 使得
平面
?若存在,求
的值?若不存在,说明理由.
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17.
(2024高三下·佛山模拟)
人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活,不过,它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论.为了解“拼音输入法”的背后原理,随机选取甲类题材“新闻稿”中1200字作为样本语料库
A , 其中“一”出现了30次,统计“一”与其后面一个字(或标点)的搭配情况,数据如下:
“一”与其后面一个字(或标点)的搭配情况 | 频数 |
“一个” | 6 |
“一些” | 4 |
“一穷” | 2 |
“一条” | 2 |
其他 | a |
假设用频率估计概率.
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(1)
求a的值,并估计甲类题材中“一”出现的概率;
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(2)
在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”,其中搭配“一个”出现的次数为X , 求X的分布列和期望;
-
(3)
另外随机选取甲类题材“新闻稿”中800字作为样本语料库B进行统计,“一”出现了24次,“一格”出现了2次,若在甲类题材“新闻稿”的撰写中,输入拼音“yige”时,“一个”和“一格”谁在前面更合适?(结论不要求证明)
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-
(1)
求证:
为等腰三角形;
-
(2)
再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使
存在且唯一,求
的值.
条件①:;
条件②:的面积为;
条件③:边上的高为3.
注:如果选择的条件不符合要求,得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.
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(1)
求椭圆
的标准方程;
-
(2)
点
是椭圆上异于短轴端点
的任意一点,过点
作
轴于
, 线段
的中点为
. 直线
与直线
交于点
为线段
的中点,设
为坐标原点,试判断以
为直径的圆与点
的位置关系.
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(2)
设
, 讨论函数
的单调性;
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(3)
若对任意的
, 当
时,
恒成立,求实数
的取值范围.
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(1)
若
, 写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号.
①1,1,1,2,2,2;
②1,1,1,1,2,2,2,2;
③1,1,1,1,1,2,2,2,2.
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(3)
若
, 求
的最小值.