湖南省衡阳市第八名校2024届高三上学期数学模拟试卷

更新时间：2024-01-30 浏览次数：38 类型：高考模拟

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1. (2023·衡阳模拟) 设集合 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2023·衡阳模拟) 已知复数z满足 $\text{[math]}$ ，则复数 $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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3. (2023·衡阳模拟) 函数 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . -2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 0

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4. (2023·衡阳模拟) 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的前5项和 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ，则等差数列{a_n}的公差为（）

A . -3 B . -1 C . 1 D . 3

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5. (2023·衡阳模拟) 龙洗，是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近似看作一个圆台．现有一龙洗盆高15cm，盆口直径40cm，盆底直径20cm．现往盆内倒入水，当水深6cm时，盆内水的体积近似为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2023·衡阳模拟) 已知 $\text{[math]}$ 的展开式中 $\text{[math]}$ 的系数为80，则m的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . $\text{[math]}$ D . 1

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7. (2023·衡阳模拟) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，点M是双曲线右支上一点，且 $\text{[math]}$ 为等边三角形，则双曲线C的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2023·衡阳模拟) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列关系正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. (2023·衡阳模拟) 立德中学举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照[50，60）､[60，70）､[70，80）､[80，90）､[90，100]分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是（）

A . 图中的x值为0.020 B . 这组数据的极差为50 C . 得分在80分及以上的人数为400 D . 这组数据的平均数的估计值为77

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10. (2023·衡阳模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 的部分图象如图所示，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. (2023·衡阳模拟) 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为坐标原点，一束平行于 $\text{[math]}$ 轴的光线 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 射入，经过 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 反射后，再经过 $\text{[math]}$ 上另一点 $\text{[math]}$ 反射后，沿直线 $\text{[math]}$ 射出，经过点 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . 延长 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点共线 C . $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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12. (2023·衡阳模拟) 如图，棱长为2的正方体 $\text{[math]}$ 中，点E ， F ， G分别是棱 $\text{[math]}$ 的中点，则（）

A . 直线 $\text{[math]}$ 为异面直线 B . $\text{[math]}$ C . 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正切值为 $\text{[math]}$ D . 过点B ， E ， F的平面截正方体的截面面积为9

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. (2023·衡阳模拟) 已知平面向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线，则 $\text{[math]}$ .

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14. (2023·衡阳模拟) 六个身高不同的人排成二排三列，每一列后面的那个人比他（她）前面的那个人高，则共有种排法．

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15. 已知函数 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 的图象过定点A ，且点A在直线 $\text{[math]}$ 上，则 $\text{[math]}$ 的最小值是.

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16. (2023·衡阳模拟) 如图，已知抛物线C： $\text{[math]}$ ，圆E： $\text{[math]}$ ，直线OA ， OB分别交抛物线于A ， B两点，且直线OA与直线OB的斜率之积等于 $\text{[math]}$ ，则直线AB被圆E所截的弦长最小值为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.

17. (2023·衡阳模拟) 在① $\text{[math]}$ ， ② $\text{[math]}$ 中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答．
问题：在 $\text{[math]}$ 中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，已知 ▲ ．
1. （1）求B；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 的外接圆半径为2，且 $\text{[math]}$ ，求ac ．
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18. (2023·衡阳模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 是等比数列；
2. （2）求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .
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19. (2023·衡阳模拟) 某市航空公司为了解每年航班正点率 $\text{[math]}$ 对每年顾客投诉次数 $\text{[math]}$ （单位：次）的影响，对近8年（2015年～2022年）每年航班正点率 $\text{[math]}$ 和每年顾客投诉次数 $\text{[math]}$ 的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
1. （1）求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的经验回归方程；
2. （2）该市航空公司预计2024年航班正点率为 $\text{[math]}$ ，利用（1）中的回归方程，估算2024年顾客对该市航空公司投诉的次数；
3. （3）根据数据统计，该市所有顾客选择乘坐该航空公司航班的概率为 $\text{[math]}$ ，现从该市所有顾客中随机抽取4人，记这4人中选择乘坐该航空公司航班的人数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望.
  附：经验回归直线 $\text{[math]}$ 的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
  $\text{[math]}$
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20. (2023·衡阳模拟) 如图所示，在梯形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，四边形ACFE为矩形，且 $\text{[math]}$ 平面ABCD ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面BCF；
2. （2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角为 $\text{[math]}$ ．
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21. (2023·衡阳模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，左顶点为 $\text{[math]}$ ，右焦点为 $\text{[math]}$ ，已知点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点共线．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）已知经过点 $\text{[math]}$ 的直线l与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ，求证：直线 $\text{[math]}$ 过定点．
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22. (2023·衡阳模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
1. （1）讨论函数 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）若关于x的不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数m的取值范围．
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