2013年高考理数真题试卷（陕西卷）

更新时间：2021-05-20 浏览次数：667 类型：高考真卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求

1. (2013·陕西理) 设全集为R，函数 $\text{[math]}$ 的定义域为M，则∁_RM为（）

A . [﹣1，1] B . （﹣1，1） C . （﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） D . （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

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2. (2013·陕西理) 根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（）

A . 25 B . 30 C . 31 D . 61

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3. (2013·陕西理) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为向量，则| $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ || $\text{[math]}$ |是“ $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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4. (2013·陕西理) 某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）

A . 11 B . 12 C . 13 D . 14

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5. (2013·陕西理)
如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2013·陕西理) 设z₁ ， z₂是复数，则下列命题中的假命题是（）

A . 若|z₁﹣z₂|=0，则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ B . 若z₁= $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ =z₂ C . 若|z₁|=|z₂|，则z₁• $\text{[math]}$ =z₂• $\text{[math]}$ D . 若|z₁|=|z₂|，则z₁²=z₂²

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7. (2013·陕西理) 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）

A . 锐角三角形 B . 直角三角形 C . 钝角三角形 D . 不确定

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8. (2013·陕西理) 设函数f（x）= $\text{[math]}$ ，则当x＞0时，f[f（x）]表达式的展开式中常数项为（）

A . ﹣20 B . 20 C . ﹣15 D . 15

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9. (2013·陕西理) 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m²的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位m）的取值范围是（）

A . [15，20] B . [12，25] C . [10，30] D . [20，30]

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10. (2013·陕西理) 设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有（）

A . [﹣x]=﹣[x] B . [2x]=2[x] C . [x+y]≤[x]+[y] D . [x﹣y]≤[x]﹣[y]

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二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上

11. (2013·陕西理) 双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，则m等于．

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12. (2020高二上·定远月考) 某几何体的三视图如图所示，则其体积为．

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13. (2013·陕西理) 若点（x，y）位于曲线y=|x﹣1|与y=2所围成的封闭区域，则2x﹣y的最小值为．

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14. (2013·陕西理) 观察下列等式：
1²=1
1²﹣2²=﹣3
1²﹣2²+3²=6
1²﹣2²+3²﹣4²=﹣10
…
照此规律，第n个等式可为．

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15. (2013·陕西理) （不等式选做题）
已知a，b，m，n均为正数，且a+b=1，mn=2，则（am+bn）（bm+an）的最小值为．

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16. (2013·陕西理) （几何证明选做题）
如图，弦AB与CD相交于⊙O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P．已知PD=2DA=2，则PE=．

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17. (2013·陕西理)
（坐标系与参数方程选做题）
如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x²+y²﹣x=0的参数方程为．

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三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤

18. (2013·陕西理) 已知向量 $\text{[math]}$ =（cosx，﹣ $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）= $\text{[math]}$ ．
1. （1）求f（x）的最小正周期．
2. （2）求f（x）在[0， $\text{[math]}$ ]上的最大值和最小值．
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19. (2013·陕西理) 设{a_n}是公比为q的等比数列．
1. （1）试推导{a_n}的前n项和公式；
2. （2）设q≠1，证明数列{a_n+1}不是等比数列．
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20. (2013·陕西理) 如图，四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A₁O⊥平面ABCD， $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明：A₁C⊥平面BB₁D₁D；
2. （2）求平面OCB₁与平面BB₁D₁D的夹角θ的大小．
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21. (2013·陕西理) 在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．
1. （1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
2. （2） X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望．
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22. (2013·陕西理) 已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．
1. （1）求动圆圆心的轨迹C的方程；
2. （2）已知点B（﹣1，0），设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线过定点．
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23. (2013·陕西理) 已知函数f（x）=e^x ， x∈R．
1. （1）若直线y=kx+1与f （x）的反函数g（x）=lnx的图象相切，求实数k的值；
2. （2）设x＞0，讨论曲线y=f （x）与曲线y=mx²（m＞0）公共点的个数．
3. （3）设a＜b，比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小，并说明理由．
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