2013年高考理数真题试卷（上海卷）

更新时间：2016-10-19 浏览次数：803 类型：高考真卷

一、填空题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1. (2013·上海理) 计算： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =．

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2. (2018高二下·上海月考) 设m∈R，m²+m﹣2+（m²﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=．

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3. (2013·上海理) 若 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，x+y=．

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4. (2013·上海理) 已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若3a²+2ab+3b²﹣3c²=0，则角C的大小是．

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5. (2013·上海理) 设常数a∈R，若 $\text{[math]}$ 的二项展开式中x⁷项的系数为﹣10，则a=．

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6. (2013·上海理) 方程 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =3^x^﹣¹的实数解为．

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7. (2013·上海理) 在极坐标系中，曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为．

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8. (2021·青浦一模) 盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）．

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9. (2023高二下·崇明期末) 设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA= $\text{[math]}$ ，若AB=4，BC= $\text{[math]}$ ，则Γ的两个焦点之间的距离为．

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10. (2013·上海理) 设非零常数d是等差数列x₁ ， x₂ ， …，x₁₉的公差，随机变量ξ等可能地取值x₁ ， x₂ ， …，x₁₉ ，则方差Dξ=．

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11. (2013·上海理) 若cosxcosy+sinxsiny= $\text{[math]}$ ，sin2x+sin2y= $\text{[math]}$ ，则sin（x+y）=．

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12. (2013·上海理) 设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=9x+ $\text{[math]}$ +7．若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为．

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13. (2013·上海理) 在xOy平面上，将两个半圆弧（x﹣1）²+y²=1（x≥1）和（x﹣3）²+y²=1（x≥3），两条直线y=1和y=﹣1围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分，记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω．过（0，y）（|y|≤1）作Ω的水平截面，所得截面积为4π $\text{[math]}$ +8π．试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为．

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14. (2013·上海理) 对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f^﹣¹（x），且f^﹣¹（[0，1））=[1，2），f^﹣¹（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x₀ ，则x₀=．

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二、选择题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15. (2013·上海理) 设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（）

A . （﹣∞，2） B . （﹣∞，2] C . （2，+∞） D . [2，+∞）

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16. (2013·上海理) 钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）

A . 充分条件 B . 必要条件 C . 充分必要条件 D . 既非充分又非必要条件

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17. (2013·上海理) 在数列（a_n）中，a_n=2ⁿ﹣1，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素c_ij=a_i•a_j+a_i+a_j（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（）

A . 18 B . 28 C . 48 D . 63

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18. (2013·上海理) 在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．若m、M分别为（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）•（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）的最小值、最大值，其中{i，j，k}⊆{1，2，3，4，5}，{r，s，t}⊆{1，2，3，4，5}，则m、M满足（）

A . m=0，M＞0 B . m＜0，M＞0 C . m＜0，M=0 D . m＜0，M＜0

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三、解答题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19. (2013·上海理) 如图，在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=2，AD=1，AA′=1．证明直线BC′平行于平面D′AC，并求直线BC′到平面D′AC的距离．

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20. (2013·上海理) 甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100（5x+1﹣ $\text{[math]}$ ）元．
1. （1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；
2. （2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．
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21. (2013·上海理) 已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0
1. （1）若y=f（x）在[﹣ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]上单调递增，求ω的取值范围；
2. （2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R，且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少含有30个零点．在所有满足上述条件的[a，b]中，求b﹣a的最小值．
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22. (2013·上海理) 如图，已知双曲线C₁： $\text{[math]}$ ，曲线C₂：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C₁ ， C₂都有公共点，则称P为“C₁﹣C₂型点”
1. （1）在正确证明C₁的左焦点是“C₁﹣C₂型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
2. （2）设直线y=kx与C₂有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C₁﹣C₂型点”；
3. （3）求证：圆x²+y²= $\text{[math]}$ 内的点都不是“C₁﹣C₂型点”
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23. (2013·上海理) 给定常数c＞0，定义函数f（x）=2|x+c+4|﹣|x+c|．数列a₁ ， a₂ ， a₃ ， …满足a_n+1=f（a_n），n∈N^* ．
1. （1）若a₁=﹣c﹣2，求a₂及a₃；
2. （2）求证：对任意n∈N^* ， a_n+1﹣a_n≥c；
3. （3）是否存在a₁ ，使得a₁ ， a₂ ， …，a_n ， …成等差数列？若存在，求出所有这样的a₁；若不存在，说明理由．
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