浙江省台州市2023-2024学年高二上学期数学1月期末质量...

更新时间：2024-03-28 浏览次数：27 类型：期末考试

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1. (2024高二上·台州期末) 直线 $\text{[math]}$ 的斜率等于（）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . 2 D . $\text{[math]}$

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2. (2024高二上·台州期末) 若双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为2，则实数 $\text{[math]}$ （）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . 4 D . 16

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3. (2024高二上·台州期末) 若空间向量 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2024高二上·台州期末) 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，则其公差 $\text{[math]}$ 为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . 2

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5. (2024高二上·台州期末) 如图，在平行六面体 $\text{[math]}$ 中，记 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2024高二上·台州期末) 人们发现，任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述运算，必会得到1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”现给出冰雹猜想的递推关系如下：对于数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为正整数）， $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 所有可能的取值的和为（）

A . 16 B . 18 C . 20 D . 41

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7. (2024高二上·台州期末) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点在抛物线 $\text{[math]}$ 上，并满足 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . 2 D . 4

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8. (2024高二上·台州期末) 在空间四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则下列结论中不一定正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. (2024高二上·台州期末) 已知数列 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是等比数列，则下列结论中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 是等比数列 B . $\text{[math]}$ 一定不是等差数列 C . $\text{[math]}$ 是等比数列 D . $\text{[math]}$ 一定不是等比数列

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10. (2024高二上·台州期末) 已知 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ ，则下列结论中正确的是（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时，曲线 $\text{[math]}$ 是椭圆 B . 当 $\text{[math]}$ 时，曲线 $\text{[math]}$ 是双曲线 C . 当 $\text{[math]}$ 时，曲线 $\text{[math]}$ 的焦点坐标为 $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 时，曲线 $\text{[math]}$ 的焦点坐标为 $\text{[math]}$

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11. (2024高二上·台州期末) 如图，在四面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，则下列结论中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点

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12. (2024高二上·台州期末) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列结论中正确的是（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ B . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 有2个元素 C . 若 $\text{[math]}$ 有2个元素，则 $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 有4个元素

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三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. (2024高二上·台州期末) 点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离为.

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14. (2024高二上·台州期末) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左右焦点分别为 $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ 为椭圆上的点，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则椭圆的离心率等于_.

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15. (2024高二上·台州期末) 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ .当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最小值是_.

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16. (2024高二上·台州期末) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ .点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上（点 $\text{[math]}$ 与原点不重合），过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的两条切线，切点分别为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，则 $\text{[math]}$ 的值为_.

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四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. (2024高二上·台州期末) 已知圆 $\text{[math]}$ 经过原点及点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）过原点的直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的方程.
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18. (2024高二下·广州期中) 已知数列 $\text{[math]}$ 是公比不为1的等比数列，其前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ .已知 $\text{[math]}$ 成等差数列， $\text{[math]}$ .
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .
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19. (2024高二上·台州期末) 在长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ .从①②这两个条件中任选一个解答该题.
①直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ；
②平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的夹角的余弦值为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的长度；
2. （2） $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ （不含端点）上的一点，若平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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20. (2024高二上·台州期末) 如图，圆 $\text{[math]}$ 的半径为4， $\text{[math]}$ 是圆内一个定点且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 上任意一点，线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线 $\text{[math]}$ 和半径 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在圆上运动.
1. （1）求点 $\text{[math]}$ 的轨迹；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，证明：直线 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 形成的轨迹相切.
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21. (2024高三下·汉寿开学考) 某游乐园中有一座摩天轮.如图所示，摩天轮所在的平面与地面垂直，摩天轮为东西走向.地面上有一条北偏东为 $\text{[math]}$ 的笔直公路，其中 $\text{[math]}$ .摩天轮近似为一个圆，其半径为 $\text{[math]}$ ，圆心 $\text{[math]}$ 到地面的距离为 $\text{[math]}$ ，其最高点为 $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ 点正下方的地面 $\text{[math]}$ 点与公路的距离为 $\text{[math]}$ .甲在摩天轮上，乙在公路上.（为了计算方便，甲乙两人的身高、摩天轮的座舱高度和公路宽度忽略不计）
1. （1）如图所示，甲位于摩天轮的 $\text{[math]}$ 点处时，从甲看乙的最大俯角的正切值等于多少？
2. （2）当甲随着摩天轮转动时，从乙看甲的最大仰角的正切值等于多少？
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22. (2024高二上·台州期末) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的实轴长为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交双曲线于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ .
1. （1）求双曲线 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）已知点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与双曲线交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，且直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的斜率存在，分别记为 $\text{[math]}$ .问：是否存在实数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为定值？若存在，则求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由.
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