浙江省湖州市2023-2024学年高三上学期1月第一次质量检...

更新时间：2024-04-16 浏览次数：16 类型：月考试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1. (2024高一下·重庆市期末) 复数 $\text{[math]}$ 的共轭复数是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高三上·湖州月考) 已知集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024高三上·湖州月考) 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 在向量 $\text{[math]}$ 上的投影向量为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2024高三下·随州模拟) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024高三上·湖州月考) 设等比数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2024高三上·湖州月考) 在流行病学中，每名感染者平均可传染的人数叫做基本传染数．当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染者人数急剧增长．当基本传染数低于1时，疫情才可能逐渐消散．而广泛接种疫苗是降低基本传染数的有效途径．假设某种传染病的基本传染数为 $\text{[math]}$ ， 1个感染者平均会接触到 $\text{[math]}$ 个新人 $\text{[math]}$ ，这 $\text{[math]}$ 人中有 $\text{[math]}$ 个人接种过疫苗（ $\text{[math]}$ 称为接种率），那么1个感染者可传染的新感染人数为 $\text{[math]}$ ．已知某病毒在某地的基本传染数 $\text{[math]}$ ，为了使1个感染者可传染的新感染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024高三上·湖州月考) 在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，棱长为2的侧棱 $\text{[math]}$ 垂直底面边长为2的正方形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点，过直线 $\text{[math]}$ 的平面 $\text{[math]}$ 分别与侧棱 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，截面 $\text{[math]}$ 的面积为（）

A . 2 B . 3 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024高三上·湖州月考) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 具有相同的左、右焦点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为它们在第一象限的交点，动点 $\text{[math]}$ 在曲线 $\text{[math]}$ 上，若记曲线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的离心率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，且直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点的坐标为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9. (2024高三上·湖州月考) 设函数 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的一个周期为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的图像关于直线 $\text{[math]}$ 对称 C . $\text{[math]}$ 的一个零点为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 单调递减

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10. (2024高三上·湖州月考) 18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布 $\text{[math]}$ ，那么当n比较大时，可视为X服从正态分布 $\text{[math]}$ ，其密度函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .任意正态分布 $\text{[math]}$ ，可通过变换 $\text{[math]}$ 转化为标准正态分布（ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ）.当 $\text{[math]}$ 时，对任意实数x ，记 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ C . 随机变量 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 减小， $\text{[math]}$ 增大时，概率 $\text{[math]}$ 保持不变 D . 随机变量 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都增大时，概率 $\text{[math]}$ 单调增大

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11. (2024高三上·湖州月考) 已知 $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点，直线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 交抛物线于A、B两点，则下列说法正确的是（）

A . 以 $\text{[math]}$ 为直径的圆与抛物线的准线相切 B . 若 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 的斜率 $\text{[math]}$ C . 弦 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 的轨迹为一条抛物线，其方程为 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为18

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12. (2024高三上·湖州月考) 已知函数 $\text{[math]}$ 的定义域均为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称，则以下说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 为奇函数 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 的值域为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. (2024高三上·湖州月考) 在等比数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若数列 $\text{[math]}$ 也是等比数列，则 $\text{[math]}$ 等于．

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14. (2024高三上·湖州月考) 已知 $\text{[math]}$ 的展开式中，唯有 $\text{[math]}$ 的系数最大，则 $\text{[math]}$ 的系数和为．

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15. (2024高三上·湖州月考) 如图，已知正三棱柱 $\text{[math]}$ 的底面边长为1cm，高为5cm，一质点自 $\text{[math]}$ 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 $\text{[math]}$ 点的最短路线的长为.

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16. (2024高三上·湖州月考) 已知函数 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的取值范围为 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

17. (2024高三上·湖州月考) 已知数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .
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18. (2024高三上·湖州月考) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的单调区间.
2. （2）在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积.
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19. (2024高三上·湖州月考) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，侧面 $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的正三角形且与底面垂直，底面 $\text{[math]}$ 是菱形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 为直角三角形；
2. （2）试确定 $\text{[math]}$ 的值，使得平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值为 $\text{[math]}$ ．
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20. (2024高三上·湖州月考) 为进一步激发青少年学习中华优秀传统文化的热情，某校举办了“我爱古诗词”对抗赛，在每轮对抗赛中，高二年级胜高三年级的概率为 $\text{[math]}$ ，高一年级胜高三年级的概率为 $\text{[math]}$ ，且每轮对抗赛的成绩互不影响．
1. （1）若高二年级与高三年级进行4轮对抗赛，求高三年级在对抗赛中至少有3轮胜出的概率；
2. （2）若高一年级与高三年级进行对抗，高一年级胜2轮就停止，否则开始新一轮对抗，但对抗不超过5轮，求对抗赛轮数X的分布列与数学期望．
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21. (2024高三上·湖州月考) 已知直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点.
1. （1）若直线 $\text{[math]}$ 垂直平分弦 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）已知点 $\text{[math]}$ ，在直线 $\text{[math]}$ 上（ $\text{[math]}$ 为圆心），存在定点 $\text{[math]}$ （异于点 $\text{[math]}$ ），满足：对于圆 $\text{[math]}$ 上任一点 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ 为同一常数，试求所有满足条件的点 $\text{[math]}$ 的坐标及该常数.
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22. (2024高三上·湖州月考) 设函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 有两个不同的零点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的导函数，求证： $\text{[math]}$ ．
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