湖北省随州市2024届高三下学期5月模拟数学试题

更新时间：2024-06-11 浏览次数：10 类型：高考模拟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. (2024高三下·随州模拟) 设全集 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高三下·随州模拟) 设随机变量 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 0.75 B . 0.5 C . 0.3 D . 0.25

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3. (2024高三下·随州模拟) 设函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ，其导函数为 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ，则不等式 $\text{[math]}$ 的解集是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2024高三下·随州模拟) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024高三下·随州模拟) 已知l ， m是两条不同的直线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角和 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角相等，则 $\text{[math]}$

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6. (2024高三下·随州模拟) 在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的外接圆圆心为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在优弧 $\text{[math]}$ 上运动，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 4 B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024高三下·随州模拟) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024高三下·随州模拟) 数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体 $\text{[math]}$ 的棱长为 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . 勒洛四面体最大的截面是正三角形 B . 若P、Q是勒洛四面体 $\text{[math]}$ 表面上的任意两点，则PQ的最大值为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ C . 勒洛四面体 $\text{[math]}$ 的体积是 $\text{[math]}$ D . 勒洛四面体 $\text{[math]}$ 内切球的半径是 $\text{[math]}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. (2024高三下·随州模拟) 设正实数a ， b满足 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 有最小值4 B . $\text{[math]}$ 有最小值 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 有最大值 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 有最小值 $\text{[math]}$

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10. (2024高三下·随州模拟) 在棱长为2的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，则（）

A . 异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ B . 点 $\text{[math]}$ 为正方形 $\text{[math]}$ 内一点，当 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ C . 过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平面截正方体 $\text{[math]}$ 所得的截面周长为 $\text{[math]}$ D . 当三棱锥 $\text{[math]}$ 的所有顶点都在球 $\text{[math]}$ 的表面上时，球 $\text{[math]}$ 的表面积为 $\text{[math]}$

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11. (2024高三下·随州模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 有且只有2个零点 B . 函数 $\text{[math]}$ 的递减区间为 $\text{[math]}$ C . 函数 $\text{[math]}$ 存在最大值和最小值 D . 若方程 $\text{[math]}$ 有三个实数解，则 $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. (2024高三下·随州模拟) 已知 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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13. (2024高三下·随州模拟) 等差数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 前n项和分别为 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. (2024高三下·随州模拟) 已知圆 $\text{[math]}$ 和两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若圆 $\text{[math]}$ 上存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (2024高三下·随州模拟) $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的外接圆半径为 $\text{[math]}$ ，面积为 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ 为锐角，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值.
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16. (2024高三下·随州模拟) 等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 是等比数列， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .
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17. (2024高三下·随州模拟) 某大学为了调查该校学生性别与身高的关系，对该校1000名学生按照 $\text{[math]}$ 的比例进行抽样调查，得到身高频数分布表如下：
男生身高频率分布表

男生身高

（单位：厘米）

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

频数

7

10

19

18

4

2

女生身高频数分布表

女生身高

（单位：厘米）

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

频数

3

10

15

6

3

3
1. （1）估计这1000名学生中女生的人数；
2. （2）估计这1000名学生中身高在 $\text{[math]}$ 的概率；
3. （3）在样本中，从身高在 $\text{[math]}$ 的女生中任取3名女生进行调查，设 $\text{[math]}$ 表示所选3名学生中身高在 $\text{[math]}$ 的人数，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望.（身高单位：厘米）
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18. (2024高三下·随州模拟) 如图1，在 $\text{[math]}$ 中，D ， E分别为 $\text{[math]}$ 的中点；O为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起到 $\text{[math]}$ 的位置，使得平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，如图2，点F是线段 $\text{[math]}$ 上的一点（不包含端点）．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 和平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ，求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积．
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19. (2024高三下·随州模拟) 已知 $\text{[math]}$ 是坐标原点，椭圆 $\text{[math]}$ 的焦距为 $\text{[math]}$ ，左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在椭圆上，若 $\text{[math]}$ 的面积最大时 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 在第一象限交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是第四象限的点且在椭圆 $\text{[math]}$ 上，线段 $\text{[math]}$ 被直线 $\text{[math]}$ 垂直平分，直线 $\text{[math]}$ 与椭圆交于另一点 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .
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