广西南宁市2024届高三下学期3月第一次适应性测试（一模）数...

更新时间：2024-05-20 浏览次数：18 类型：高考模拟

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. (2024高三下·南宁模拟) 设复数 $\text{[math]}$ 在复平面内的对应点关于实轴对称，若 $\text{[math]}$ ，（ $\text{[math]}$ 为虚数单位），则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高三下·南宁模拟) 已知集合 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值集合为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024高三下·南宁模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 的首项 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ），当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 无法确定

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4. (2024高三下·南宁模拟) $\text{[math]}$ 展开式中的常数项为（）

A . 60 B . 4 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知 $\text{[math]}$ 的外接圆圆心为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 在向量 $\text{[math]}$ 上的投影向量为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2024高三下·南宁模拟) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的右焦点为 $\text{[math]}$ ，右顶点为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线与双曲线 $\text{[math]}$ 的一条渐近线交于点 $\text{[math]}$ ，与其左支交于点 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 不在同一象限，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为坐标原点）的交点在双曲线 $\text{[math]}$ 上，若 $\text{[math]}$ ，则双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . $\text{[math]}$ D . 3

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7. (2024高三下·南宁模拟) 在边长为4的菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ .将菱形沿对角线 $\text{[math]}$ 折叠成大小为 $\text{[math]}$ 的二面角 $\text{[math]}$ .若点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为三棱锥 $\text{[math]}$ 表面上的动点，且总满足 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 轨迹的长度为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024高三下·南宁模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ，且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 是偶函数 C . $\text{[math]}$ 是增函数 D . $\text{[math]}$ 是周期函数

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二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9. (2024高三下·南宁模拟) 下列说法中，正确的是（）

A . 一组数据 $\text{[math]}$ 的第40百分位数为12 B . 若样本数据 $\text{[math]}$ 的方差为8，则数据 $\text{[math]}$ 的方差为2 C . 已知随机变量 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 在独立性检验中，零假设为 $\text{[math]}$ ：分类变量 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 独立.基于小概率值 $\text{[math]}$ 的独立性检验规则是：当 $\text{[math]}$ 时，我们就推断 $\text{[math]}$ 不成立，即认为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 不独立，该推断犯错误的概率不超过 $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 时，我们没有充分证据推断 $\text{[math]}$ 不成立，可以认为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 独立

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10. (2024高三下·南宁模拟) 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为110米，转盘直径为100米，摩天轮的圆周上均匀地安装了36个座舱，游客甲从距离地面最近的位置进舱，开启后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，开始转动t分钟后距离地面的高度为H米，当 $\text{[math]}$ 时，游客甲随舱第一次转至距离地面最远处.如图，以摩天轮的轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，则 $\text{[math]}$ ，下列说法中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数 $\text{[math]}$ 是偶函数 B . 若在 $\text{[math]}$ 时刻，游客甲距离地面的高度相等，则 $\text{[math]}$ 的最小值为30 C . 摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟 D . 若甲､乙两游客分别坐在 $\text{[math]}$ 两个座舱里，且两人相隔5个座舱（将座舱视为圆周上的点），则劣弧 $\text{[math]}$ 的弧长 $\text{[math]}$ 米

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11. (2024高三下·南宁模拟) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作两条互相垂直的直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的最小值为18 C . 直线 $\text{[math]}$ 过定点 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的面积的最小值为4

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三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12. (2024高三下·南宁模拟) 如下图，若圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比为.

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13. (2024高三下·南宁模拟) 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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14. (2024高三下·南宁模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为.

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四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）

15. (2024高三下·南宁模拟) 有两个盒子，其中1号盒子中有3个红球，2个白球；2号盒子中有4个红球，6个白球，这些球除颜色外完全相同.
1. （1）先等可能地选择一个盒子，再从此盒中摸出2个球.若摸出球的结果是一红一白，求这2个球出自1号盒子的概率；
2. （2）如果从两个盒子中摸出3个球，其中从1号盒子摸1个球，从2号盒子摸两个球，规定摸到红球得2分，摸到白球得1分，用 $\text{[math]}$ 表示这3个球的得分之和，求 $\text{[math]}$ 的分布列及数学期望.
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16. (2024高三下·南宁模拟) 如图，四棱柱 $\text{[math]}$ 的底面 $\text{[math]}$ 是棱长为2的菱形，对角线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 为锐角，且四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为2.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.
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17. (2024高三下·南宁模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）若直线 $\text{[math]}$ 与函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均相切，试讨论直线 $\text{[math]}$ 的条数；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .
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18. (2024高三下·南宁模拟) 已知点 $\text{[math]}$ 和圆 $\text{[math]}$ 为圆 $\text{[math]}$ 上的一动点，线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线与线段 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，记点 $\text{[math]}$ 的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ .
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）已知点 $\text{[math]}$ ，若曲线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的左､右交点分别为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，直线 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，问：是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 取得最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.
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19. (2024高三下·南宁模拟) 若无穷数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则称数列 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 数列，若 $\text{[math]}$ 数列 $\text{[math]}$ 同时满足 $\text{[math]}$ ，则称数列 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 数列.
1. （1）若数列 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 数列， $\text{[math]}$ ，证明：当 $\text{[math]}$ 时，数列 $\text{[math]}$ 为递增数列的充要条件是 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若数列 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 数列， $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ，且对任意的 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式.
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