上海市民办南模中学2023-2024学年高一下学期数学期末试...

更新时间：2024-07-17 浏览次数：4 类型：期末考试

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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2. 已知向量 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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3. 在半径为1的圆中， $\text{[math]}$ 弧度的圆心角所对的弧长为.

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4. 已知复数 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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5. 若向量 $\text{[math]}$ 的夹角 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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6. 在公差为正数的等差数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 成等比数列，则数列 $\text{[math]}$ 的前10项和为.

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7. (2024高一下·珠海期中) 已知平面向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影向量的坐标为.

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8. (2014·安徽理) 若将函数f（x）=sin（2x+ $\text{[math]}$ ）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是．

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9. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 是严格增数列，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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10. 如图，在扇形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在扇形 $\text{[math]}$ 内部， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则阴影部分的面积为 $\text{[math]}$ .

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11. 设 $\text{[math]}$ 为平面内的任意两个向量，定义一种向量运算“ $\text{[math]}$ ”； $\text{[math]}$ 对于同一平面内的向量 $\text{[math]}$ ，给出下列结论：
① $\text{[math]}$
② $\text{[math]}$ ；
③ $\text{[math]}$
④若 $\text{[math]}$ 是单位向量，则 $\text{[math]}$ .
以上所有正确结论的序号是.

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12. 欧拉函数 $\text{[math]}$ 的函数值等于所有不超过 $\text{[math]}$ 且与 $\text{[math]}$ 互质的正整数的个数（公约数只有1的两个整数称为互质整数），例如： $\text{[math]}$ .记 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 恒成立，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为.

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二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）

13. 在公差为 $\text{[math]}$ 的等差数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1或2 B . 1 C . -1 D . -2

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14. 下列函数在 $\text{[math]}$ 上严格减的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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15. 已知复数 $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点分别为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为坐标原点），且 $\text{[math]}$ ，则对任意 $\text{[math]}$ ，下列选项中为定值的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的周长 D . $\text{[math]}$ 的面积

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16. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 4 B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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三、解答题（本大题共有5题，满分78分）

17. 本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.
已知 $\text{[math]}$ 是关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 的一个根，其中 $\text{[math]}$ 为虚数单位.
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）记复数 $\text{[math]}$ ，求复数 $\text{[math]}$ 的模.
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18. 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知向量 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的单调增区间；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 的值域.
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19. 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知函数 $\text{[math]}$ 的部分图象如图所示.
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的解析式与单调增区间；
2. （2）若将 $\text{[math]}$ 的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位，再向上平移1个单位得到 $\text{[math]}$ 的图象，写出 $\text{[math]}$ 图像的对称中心的坐标，并求当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最值.
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20. (2024高二下·广西期中) 若数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，从数列 $\text{[math]}$ 中任取2项相加，把所有和的不同值按照从小到大排成一列，称为数列 $\text{[math]}$ 的和数列，记作数列 $\text{[math]}$ ．
1. （1）已知等差数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
  ①若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的通项公式，并写出 $\text{[math]}$ 的前5项；
  ②若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前50项的和；
2. （2）若 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），证明：对任意 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），并求数列 $\text{[math]}$ 的所有项的和．
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21. 已知 $\text{[math]}$ 为坐标原点，对于函数 $\text{[math]}$ ，称向量 $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 的相伴特征向量，同时称函数 $\text{[math]}$ 为向量 $\text{[math]}$ 的相伴函数.
1. （1）记向量 $\text{[math]}$ 的相伴函数为 $\text{[math]}$ ，求当 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）设函数 $\text{[math]}$ ，试求 $\text{[math]}$ 的相伴特征向量 $\text{[math]}$ ，并求出与 $\text{[math]}$ 共线的单位向量；
3. （3）已知 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的相伴特征向量， $\text{[math]}$ ，请问在 $\text{[math]}$ 的图象上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ .若存在，求出 $\text{[math]}$ 点坐标；若不存在，说明理由.
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