广东省梅州市梅州中学2024年高三5月模拟考试数学试卷

更新时间：2024-06-23 浏览次数：15 类型：高考模拟

一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分

1. (2024·梅州模拟) 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的虚部是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024·梅州模拟) “ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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3. (2024·梅州模拟) 从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为4的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2024·梅州模拟) 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 2 B . 3 C . 4 D . 6

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5. (2024·梅州模拟) 直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2024·梅州模拟) 设向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，定义 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024·梅州模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设点 $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 上的点，若动点 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的轨迹方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024·梅州模拟) 已知0为函数 $\text{[math]}$ 的极小值点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9. (2024·梅州模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 的图象可由 $\text{[math]}$ 的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度得到 B . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增 C . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内有2个零点 D . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的最大值为 $\text{[math]}$

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10. (2024·梅州模拟) 已知函数f（x）的定义域为R，f（x）不恒为零，且 $\text{[math]}$ ，则（）

A . f（0）=1 B . f（x）为偶函数 C . f（x）在x=0处取得极小值 D . 若f（a）=0，则f（x）=f（x+4a）

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11. (2024·梅州模拟) 抛物线 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在其准线 $\text{[math]}$ 上，过焦点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点（点 $\text{[math]}$ 在第一象限），则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 有可能是钝角 C . 当直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 面积之比为3 D . 当直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 只有一个公共点时， $\text{[math]}$

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三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分

12. (2024·梅州模拟) 已知 $\text{[math]}$ 展开式中各项系数和为243，则展开式中的第3项为.

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13. (2024·梅州模拟) 某科创公司新开发了一种溶液产品，但这种产品含有2％的杂质，按市场要求杂质含量不得超过0.1％，现要进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少 $\text{[math]}$ ，要使产品达到市场要求，对该溶液过滤的最少次数为．
(参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ )

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14. (2024·梅州模拟) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为双曲线上一点，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则双曲线的离心率为．

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四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. (2024·梅州模拟) 如图所示，圆锥的高 $\text{[math]}$ ，底面圆 $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ，延长直径 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，分别过点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 作底面圆 $\text{[math]}$ 的切线，两切线相交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是切线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 的切点．
1. （1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求该圆锥的体积 $\text{[math]}$ ．
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16. (2024·梅州模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处切线的斜率；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；
3. （3）若集合 $\text{[math]}$ 有且只有一个元素，求 $\text{[math]}$ 的值.
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17. (2024·梅州模拟) 已知 $\text{[math]}$ 为圆 $\text{[math]}$ 的圆心， $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 上的动点，点 $\text{[math]}$ ，若线段 $\text{[math]}$ 的中垂线与 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 点.
1. （1）当点 $\text{[math]}$ 在圆上运动时，求点 $\text{[math]}$ 的轨迹 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 的轨迹 $\text{[math]}$ 分别相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，且与圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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18. (2024·梅州模拟) 某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产．经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为94%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为97%．
1. （1）从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X，求X的分布列和数学期望；
2. （2）为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标．已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率．
  设事件 $\text{[math]}$ “甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件 $\text{[math]}$ “该大型企业把零件交给甲工厂生产”、已知 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ．
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19. (2024·梅州模拟) 记上的可导函数 $\text{[math]}$ 的导函数为 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ 的数列称为函数 $\text{[math]}$ 的“牛顿数列”.已知数列 $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 的牛顿数列，且数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）证明数列 $\text{[math]}$ 是等比数列并求 $\text{[math]}$ ；
3. （3）设数列 $\text{[math]}$ 的前项和为 $\text{[math]}$ ，若不等式 $\text{[math]}$ 对任意的 $\text{[math]}$ 恒成立，求t的取值范围.
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