浙江省重点中学四校2023-2024学年高一下学期5月联考数...

更新时间：2024-07-09 浏览次数：31 类型：月考试卷

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）

1. (2024高一下·江岸期末) 已知复数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为虚数单位），则 $\text{[math]}$ 的虚部为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高一下·浙江月考) 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 4 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或4

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3. (2024高一下·浙江月考) 如图， $\text{[math]}$ 的斜二测直观图为等腰直角三角形 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 6 D . $\text{[math]}$

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4. (2024高一下·温岭月考) 某同学坚持夜跑锻炼身体，他用手机记录了连续10周每周的跑步总里程（单位：千米），其数据分别为17，21，15，8，9，13，11，10，20，6，则这组数据的75%分位数是（）

A . 12 B . 16 C . 17 D . 18.5

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5. (2024高一下·温岭月考) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 三内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ 为直角三角形”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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6. (2024高一下·浙江月考) 某同学有一个形如圆台的水杯如图所示，已知圆台形水杯的母线长为 $\text{[math]}$ ，上、下底面圆的半径分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ .为了防烫和防滑，水杯配有一个杯套，包裹水杯 $\text{[math]}$ 高度以下的外壁和杯底，如图中阴影部分所示，则杯套的表面积为（不考虑水杯材质和杯套的厚度）（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024高一下·浙江月考) 如图，平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .现将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 起，使二面角 $\text{[math]}$ 大小为120°，则折起后得到的三棱锥 $\text{[math]}$ 外接球的表面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024高一下·浙江月考) 正方形 $\text{[math]}$ 边长为1，平面内一点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 点的轨迹分别与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，令 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 方向上的单位向量， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为任意实数，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 3 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9. (2024高一下·浙江月考) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是不同的直线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是不同的平面，则下列说法不正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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10. (2024高一下·浙江月考) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 有最小值4 B . $\text{[math]}$ 有最小值 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 有最小值 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 有最小值16

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11. (2024高一下·浙江月考) 如图，点 $\text{[math]}$ 是棱长为2的正方体 $\text{[math]}$ 的表面上一个动点， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点，则（）

A . 存在点 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ B . 若点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则动点 $\text{[math]}$ 的轨迹长度为 $\text{[math]}$ C . 若点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ 时，动点 $\text{[math]}$ 的轨迹是正六边形 D . 当点 $\text{[math]}$ 在侧面 $\text{[math]}$ 上运动，且满足 $\text{[math]}$ 时，二面角 $\text{[math]}$ 的最大值为60°

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三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12. (2024高一下·浙江月考) 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影向量为.（用 $\text{[math]}$ 表示）

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13. (2024高一下·温岭月考) 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为.

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14. (2024高一下·浙江月考) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的外接圆为圆O，P为圆O上的点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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四、解答题（本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15. (2024高一下·浙江月考) 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ 得到如图所示的频率分布直方图.
1. （1）求频率分布直方图中a的值；
2. （2）求样本成绩的第75百分位数；
3. （3）已知落在 $\text{[math]}$ 的平均成绩是56，方差是7，落在 $\text{[math]}$ 的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数 $\text{[math]}$ 和总方差 $\text{[math]}$ .
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16. (2024高一下·浙江月考) 如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 为正方形.
1. （1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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17. (2024高一下·浙江月考) 请从① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应位置上）
在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边，若 ▲ ，
1. （1）求角 $\text{[math]}$ 的大小；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积.
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18. (2024高一下·浙江月考) 在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为轴将菱形 $\text{[math]}$ 翻折到菱形 $\text{[math]}$ ，使得平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.
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19. (2024高一下·浙江月考) 如图，是一座“双塔钢结构自锚式悬索桥”，悬索的形状是平面几何中的悬链线，悬链线方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数， $\text{[math]}$ ），当 $\text{[math]}$ 时，该方程就是双曲余弦函数 $\text{[math]}$ ，类似的有双曲正弦函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论： $\text{[math]}$ ▲ .（用 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示）
2. （2） $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
3. （3）设 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 有唯一的正零点 $\text{[math]}$ ，并比较 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的大小.
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