山东省青岛地区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试...

更新时间：2024-07-04 浏览次数：5 类型：期中考试

一、单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. (2024高一下·青岛期中) 在复平面内，复数 $\text{[math]}$ 对应的点为 $\text{[math]}$ ，复数 $\text{[math]}$ 对应的点为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 对应的复数为( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高一下·青岛期中) 若 $\text{[math]}$ 是不共线的向量，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则( )

A . ． $\text{[math]}$ 三点共线 B . $\text{[math]}$ 三点共线 C . $\text{[math]}$ 三点共线 D . $\text{[math]}$ 三点共线

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3. (2024高一下·青岛期中) $\text{[math]}$ ( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2024高一下·青岛期中) 已知非零向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 方向上的投影向量长度为( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024高一下·青岛期中) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是第二象限的角，则 $\text{[math]}$ ( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2024高一下·青岛期中) 将函数 $\text{[math]}$ 的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位，得到函数 $\text{[math]}$ 的图象，若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上为增函数，则 $\text{[math]}$ 的最大值为( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024高一下·青岛期中) 如图，矩形 $\text{[math]}$ 是水平放置四边形 $\text{[math]}$ 的直观图，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则原四边形 $\text{[math]}$ 的周长是( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024高一下·青岛期中) 在锐角 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多项选择题：本大题共3小题．每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错的得0分．

9. (2024高一下·青岛期中) 下列有关平行六面体的命题正确的是( )

A . 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 B . 平行六面体的八个顶点在同一球面上 C . 平行六面体的四个侧面不可能都是矩形 D . 平行六面体任何两个相对的面都可以作为它的底面

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10. (2024高一下·青岛期中) 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，则( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. (2024高一下·青岛期中) 相交弦定理是平面几何中关于圆的一个重要定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，已知圆 $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ，弦 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ．且 $\text{[math]}$ ，则( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 为定值 $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 时，四边形 $\text{[math]}$ 的面积最大值为 $\text{[math]}$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

12. (2024高一下·青岛期中) 已知函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），函数 $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称，且函数 $\text{[math]}$ 图象上相邻最高点和最低点的距离为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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13. (2024高一下·青岛期中) 已知正三角形 $\text{[math]}$ 与正方形 $\text{[math]}$ 的中心为同一点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. (2024高一下·青岛期中) 费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角都小于 $\text{[math]}$ 时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为 $\text{[math]}$ ．已知点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的费马点，角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边上的中线长为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为．

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四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (2024高一下·青岛期中) 已知复数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若复数 $\text{[math]}$ 是关于 $\text{[math]}$ 的实系数方程 $\text{[math]}$ 的一个根，求 $\text{[math]}$ 的值．
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16. (2024高一下·丰城期末) 在等腰梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 垂直，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上的动点(不包括端点），求 $\text{[math]}$ 的最小值．
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17. (2024高一下·青岛期中) 在① $\text{[math]}$ ， ② $\text{[math]}$ 中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答．
问题：在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ，已知____．
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长．
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18. (2024高一下·青岛期中) 已知 $\text{[math]}$ 为坐标原点，对于函数 $\text{[math]}$ ，称向量 $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 的相伴特征向量，同时称函数 $\text{[math]}$ 为向量 $\text{[math]}$ 的相伴函数．
1. （1）记向量 $\text{[math]}$ 的相伴函数为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，试求函数 $\text{[math]}$ 的相伴特征向量 $\text{[math]}$ ，并求出与 $\text{[math]}$ 方向相同的单位向量；
3. （3）已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 的相伴特征向量， $\text{[math]}$ ，请问在 $\text{[math]}$ 的图象上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ?若存在，求出 $\text{[math]}$ 点的坐标；若不存在，说明理由．
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19. (2024高一下·青岛期中) 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为 $\text{[math]}$ ，转盘直径为 $\text{[math]}$ ，设置有 $\text{[math]}$ 个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要 $\text{[math]}$ ．
1. （1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动 $\text{[math]}$ 后距离地面的高度为 $\text{[math]}$ ，求在转动一周的过程中， $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数解析式；
2. （2）证明： $\text{[math]}$ ；
3. （3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）关于 $\text{[math]}$ 的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到 $\text{[math]}$ ）．（参考数据： $\text{[math]}$ ）
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