浙江省宁波市2023-2024学年高二下学期数学期末试卷

更新时间：2024-07-09 浏览次数：10 类型：期末考试

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. (2024高二下·宁波期末) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

答案解析收藏纠错 + 选题
2. (2024高二下·宁波期末) 已知复数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的虚部为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

答案解析收藏纠错 + 选题
3. (2024高二下·宁波期末) 已知角 $\text{[math]}$ 的终边过点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

答案解析收藏纠错 + 选题
4. (2024高一下·上饶月考) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为单位向量，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

答案解析收藏纠错 + 选题
5. (2024高二下·宁波期末) 对于直线m ， n和平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，下列说法错误的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， m ， n共面，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， m ， n共面，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

答案解析收藏纠错 + 选题
6. (2024高二下·宁波期末) 若 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

答案解析收藏纠错 + 选题
7. (2024高二下·宁波期末) 袋子中有n个大小质地完全相同的球，其中4个为红球，其余均为黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，已知摸出的2个球都是红球的概率为 $\text{[math]}$ ，则两次摸到的球颜色不相同的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

答案解析收藏纠错 + 选题
8. (2024高二下·宁波期末) 颐和园的十七孔桥，初建于清乾隆年间；永定河上的卢沟桥，始建于宋代；四川达州的大风高拱桥，修建于清同治7年，这些桥梁屹立百年而不倒，观察它们的桥梁结构，有一个共同的特点，那就是拱形结构，这是悬链线在建筑领域的应用。悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特·胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为 $\text{[math]}$ ，相应的双曲正弦函数的表达式为 $\text{[math]}$ ．若关于x的不等式 $\text{[math]}$ 对任意的 $\text{[math]}$ 恒成立，则实数m的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

答案解析收藏纠错 + 选题

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9. (2024高二下·宁波期末) 已知平面向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为针角，则 $\text{[math]}$

答案解析收藏纠错 + 选题
10. (2024高二下·宁波期末) 已知函数 $\text{[math]}$ 是奇函数，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 无解 C . $\text{[math]}$ 是减函数 D . $\text{[math]}$

答案解析收藏纠错 + 选题
11. (2024高二下·宁波期末) 如图，点P是棱长为3的正方体 $\text{[math]}$ 的表面上一个动点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面AEF ，则下列说法正确的是（）

A . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积是定值 B . 存在一点P ，使得 $\text{[math]}$ C . 动点P的轨迹长度为 $\text{[math]}$ D . 五面体 $\text{[math]}$ 的外接球半径为 $\text{[math]}$

答案解析收藏纠错 + 选题

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. (2024高二下·宁波期末) 设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

答案解析收藏纠错 + 选题
13. (2024高二下·宁波期末) 已知正实数x ， y满足 $\text{[math]}$ ，则xy的最大值为．

答案解析收藏纠错 + 选题
14. (2024高二下·宁波期末) 在△ABC中，a ， b ， c分别是A ， B ， C所对的边， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 取得最小值时，角C的大小为．

答案解析收藏纠错 + 选题

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15. (2024高二下·宁波期末) 已知单位向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影向量（用 $\text{[math]}$ 表示）．
答案解析收藏纠错 + 选题
16. (2024高一下·上饶月考) 函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的部分图象如图， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均在函数 $\text{[math]}$ 的图象上，且Q是图象上的最低点．
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的单调递增区间；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
答案解析收藏纠错 + 选题
17. (2024高二下·宁波期末) 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D在BC上，点E为PA的中点．
1. （1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面PBC；
2. （2）求BE与平面PBC所成角的正弦值．
答案解析收藏纠错 + 选题
18. (2024高二下·宁波期末) 为纪念五四青年运动105周年，进一步激励广大团员青年继承和发扬五四精神，宁波市教育局组织中小学开展形式多样、内容丰富、彰显青年时代风貌的系列主题活动．某中学开展“读好红色经典，争做强国少年”经典知识竞赛答题活动，现从该校参加竞赛的全体学生中随机选取100份学生的答卷作为样本，所有得分都分布在 $\text{[math]}$ ，将得分数据按照 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ 分成7组，得到如图所示的频率分布直方图．
1. （1）估计该中学参加竞赛学生成绩的平均分（注：同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
2. （2）估计该中学参加竞赛学生成绩的第75百分位数（结果精确到0.1）；
3. （3）若竞赛得分100分及以上的学生视为“强国少年”．根据选取的100份答卷数据统计；竞赛得分在 $\text{[math]}$ 内学生的平均分和方差分别为110和9，竞赛得分在 $\text{[math]}$ 内学生的平均分和方差分别为128和6，请估计该中学“强国少年”得分的方差．
答案解析收藏纠错 + 选题
19. (2024高二下·宁波期末) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ ，并判断函数 $\text{[math]}$ 零点的个数；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 有三个零点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， 2，3．证明：
  ① $\text{[math]}$ ；
  ② $\text{[math]}$ ．
  参考公式： $\text{[math]}$ ．
答案解析收藏纠错 + 选题